Princípio do Trabalho Virtual e o Princípio de D’Alembert

A argumentação proposta por D’Alembert constitui basicamente de uma mudança imaginária nas coordenadas espaciais das partículas de um sistema no tempo. São propostos deslocamentos virtuais, de modo que o sistema possa ser descrito através de um novo instrumento matemático gerado a partir do tratamento destes pressupostos.

Consideremos um sistema em equilíbrio: a força resultante, atuante na partícula s é nula. Desta forma, podemos escrever:

Fs = 0       (s = 1,2... N)               (1.a)

Então, com base no princípio descrito acima, podemos escrever:

Fsrs = 0                                     (2.a)

Para as N partícula, teremos:

ΣsFsrs = 0                                  (3.a)

Tais argumentos são facilmente aceitáveis do ponto de vista das condições de equilíbrio. Mas se as forças Fs são contínuas da posição, então a última expressão pode ser reescrita como:

δW = 0                                         (4.a)

Que constitui basicamente o enunciado do princípio do trabalho virtual:

“é nulo o trabalho realizado ao longo de um deslocamento virtual infinitesimal arbitrário de um sistema, a partir de uma posição de equilíbrio.”  (LEECH, J. W., p.12.)

Se houver alguma restrição ao movimento livre do sistema, as forças podem serem classificadas como forças aplicadas Fs(a) e como forças de vínculo ou forças de ligação Fs(v) e desta forma, teremos:

Fs = Fs(v) + Fs(a) (5.a)

Aplicamos o somatório em todas as partículas que constituem o sistema:

ΣsFs(v)rs + ΣFs(a)rs = 0              (3.b)

Introduzimos um postulado que nos permite reinterpretar a última equação:

Fs(v)rs ≥ 0                                     (6.a)

O resultado da combinação de (3.b) e (6.a) nos dá:

ΣFs(a)rs ≤ 0                                    (7.a)

Neste caso apenas as forças aplicadas são envolvidas na interpretação do sistema. Estas forças são supostamente funções ininterruptas no espaço. Desta forma, podemos escrever o elemento de trabalho δW como sendo restrito às possibilidades oferecidas pelo sistema. Então, obtemos:

δW ≡ ΣFs(a)rs ≤ 0                     (7.b)

É necessário considerar apenas os deslocamentos δ’ geometricamente reversíveis. Estas limitações nos dão:

ΣFs(a).δ’rs ≤ 0

No sentido oposto:

ΣFs(a).( –δ’rs) ≤ 0

Desta forma, teremos uma equação que generaliza o princípio do trabalho virtual, que assume a forma;

ΣFs(a).δ’rs = 0                              (7.c)

Que é enunciado:

“É nulo o trabalho realizado no decorrer de um deslocamento virtual reversível infinitesimal, compatível com as ligações, de um sistema, a partir de uma posição de equilíbrio.”  (LEECH, J. W., p.13.)

Podemos escrever equações que contenham o mesmo número para os graus de liberdade e coordenadas. Estas são as coordenadas generalizadas qi, e cada deslocamento virtual δ’rs realizado em uma dessas direções pode ser feito de maneira independente. Logo, a equação (7.c) se reduz a:

ΣQi(a)δ’qi = 0                             (7.d)

Até aqui, foram considerados apenas sistemas em equilíbrio estático. Mas podemos abranger os sistemas em movimento, inserindo as equações do movimento:

Fs = d(ms.vs)/dt                        (8.a)

Isto é,

Fs d(ms.vs)/dt = 0                  (8.b)

Baseado no que foi escrito anteriormente, temos, para um deslocamento virtual arbitrário:

Σs(Fs d(ms.vs)/dt).δrs = 0          (8.c)

Teremos presença de forças de ligação e de forças aplicadas. Então, reescrevemos a equação anterior em função de tais forças:

ΣsFs(c)rs + Σs(Fs(a) d(ms.vs)/dt) .δrs = 0

Apenas para os deslocamentos aceitáveis para as respectivas ligações, podemos aferir:

Fs(c)rs ≥ 0

E daí, vem:

Σs(Fs(a) d(ms.vs)/dt) .δrs ≤ 0

Restringindo aos deslocamentos virtuais reversíveis, teremos:

Σs(Fs(a) d(ms.vs)/dt) .δ’rs = 0

Para tornar cada deslocamento virtual independente um do outro, é necessário transformar as coordenadas do sistema para um sistema de coordenadas generalizadas conveniente. As forças aplicadas Fs(a) são responsáveis pela realização do trabalho, ao longo do respectivo deslocamento virtual. O termo d(ms.vs)/dt é constituído pelas forças de inércia, que podemos representar de maneira simplificada por Is.

Resumidamente, a última equação assume a forma:

Σs(Fs(a) + Is) .δ’rs = 0

O resultado da soma entre parênteses nos dá a força efetiva. Desta forma, chegamos à expressão conhecida como princípio de D’Alembert:

“o trabalho total realizado pelas fôrças efetivas é nulo em um deslocamento infinitesimal reversível, compatível com as ligações de qualquer sistema dinâmico.”  (LEECH, J. W., p.15)

Referências bibliográficas:
LEECH, J. W., BSc. PhD.  Mecânica Analítica.  Traduzido por OLIVEIRA, Carlos Campos de.  Ed. Ao livro técnico S. A. e Editora da Universidade de São Paulo.  Rio de Janeiro, 1971.  160p.

Arquivado em: Mecânica Clássica