Tronco de cone

Licenciatura em Matemática (USP, 2014)

Tronco de cone de bases paralelas é um sólido obtido quando se intercepta um cone por um plano paralelo ao plano da base e se descarta o cone menor formado.

Alguns elementos do tronco de cone

  • R é o raio da base maior.
  • r é o raio da base menor.
  • h é a altura do tronco de cone.
  • g é a geratriz do tronco de cone.

É possível obtermos que é válido que: g^2 = h^2 + (R ? r)^2

Considerando os dados indicados no tronco de cone acima, temos também que:

Volume do tronco de cone de bases paralelas (V):

V = \frac{\pi \cdot h}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)

Área lateral do tronco de cone (A_l) de bases paralelas:

A_l = \pi \cdot g(r+R)

Tais expressões são obtidas pela semelhança do cone original com o cone menor criado a partir do corte feito pelo plano da definição.

Exemplo:

(FUVEST) As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios de 6 cm e 3 cm. Sabendo que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule:

  • a) altura do tronco de cone.
  • b) volume do tronco de cone

Resposta:

a) O enunciado diz que "área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases". Sendo A1 e A2 as áreas dos círculos da base de raios 6 cm (R) e 3 cm (r), respetivamente. Temos:

A_1 + A_2 = A_l

A_1 = \pi R^2 = \pi 6^2 = 36\pi

A_2 = \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi

A_l = A_1 + A_2 = 36\pi + 9\pi = 45\pi

A_l = \pi \cdot g(r+R) = \pi \cdot g(3+6) = \pi \cdot g \cdot 9

Logo: 45\pi = \pi \cdot g \cdot 9.

Portanto: g = 5 cm

Pede-se a altura do tronco de cone (h), para isso, utilizamos a relação g^2 = h^2 + (R - r)^2:

5^2 = h^2 + (6-3)^2

5^2 = h^2 + 3^2

25 = h^2 + 9

25 - 9 = h^2

16 = h^2

h = \sqrt{16} = 4

Portanto, h = 4 cm.

b) Temos que h = 4 cm, R = 6 cm e r = 3 cm. Basta usar a expressão para volume:

V = \frac{\pi \cdot h}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r+r^2)

V = \frac{\pi \cdot 4}{3} \cdot (6^2 + 6 \cdot 3+3^2)

V = \frac{4\pi}{3} \cdot (36+18+9)

V = \frac{4\pi \cdot 63}{3}

V = 84 \pi cm^3

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