Anagramas

Chama-se anagrama de uma palavra toda ordenação possível de suas letras, ainda que a “palavra” obtida não tenha sentido.

Para calcular o número de anagramas de uma palavra vamos utilizar o princípio multiplicativo e os conceitos de permutação simples e de permutação com repetição.

Princípio Fundamental da Contagem

O Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo, que é um método algébrico para determinar o número total de possibilidades.

Este método consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada etapa do experimento.

Permutação simples e permutação com repetição

Permutação simples:

$P_n=p!$

A permutação é um arranjo de ordem máxima, ou seja, faz uso de todos os elementos do conjunto (p=n).

Permutação com repetição:

Assim como na permutação simples, a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, a repetição de elementos são permitidas. Podemos estabelecer, entre o número de elementos n e as vezes que um mesmo elemento aparece, na fórmula.

Exemplos:

1) Para a palavra VESTIBULAR, determine:

a) o total de anagramas.

$P_10=10!=3.628.800$

b) o número de anagramas que começam por vogais e terminam por consoantes.

Aplicando o princípio multiplicativo, obtemos:

$4\cdot 6\cdot P_8=4\cdot 6\cdot 8!=967.680$

c) Considerar que o grupo (EST) e as demais letras (V, I, B, U, L, A, R) permutam entre si. (EST será considerada apenas uma letra)

$P_8=8!=40.320$

d) Nos 40.320 anagramas do item c, as letras E, S, T podem permutar entre si. Logo, teremos:

$P_8\cdot P_3=40.320\cdot 6=241.920$

2) Quantos anagramas podemos escrever com a palavra ACREDITO , começados com a letra A?

3) Quantos anagramas podemos escrever com a palavra MATEMÁTICA?

A palavra MATEMÁTICA possui 10 letras no total, sendo 3 letras “A”, duas letras “T” e duas letras “M”.

$P_{10}^{3,2,2}=\frac{11!}{4!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!\cdot 4!\cdot 2!}=35.650$

4) Determine quantos anagramas podemos escrever com a palavra MISSISSIPPI.

$P_{11}^{4,2,2}=\frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3!}{3!\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1}=151.200$

5) Quantos anagramas da palavra ARARAQUARA começam e terminam com A?

Referências bibliográficas:

1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 1. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012.

2. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais de Matemática. Lisboa: Sá da Costa, 1989.

3. COLEÇÃO do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Vários autores. 12 volumes, 2006.

4. LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2006. 3v.

5. HAZAM, Samuel. Fundamentos de matemática elementar, 5: combinatória, probabilidade. – 8.ed. – São Paulo: Atual, 2013.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/anagramas/