Arranjo ou combinação: como diferenciar?

Mestrado profissional em Matemática (UFSJ, 2015)
Graduada em Matemática (UFMG, 1989)

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Existem muitos problemas práticos em que se pretende calcular de quantas formas distintas pode ser feita uma determinada escolha. Quando o problema envolve formação de agrupamentos em que cada elemento pode aparecer uma única vez, em geral os agrupamentos são de um dos dois tipos: arranjos simples ou combinações simples.

A identificação do tipo de agrupamento é um dos aspectos mais importantes na resolução de problemas de cálculo combinatório.

A partir das definições dos conceitos de arranjos simples e combinações simples, podemos estabelecer uma regra geral para essa identificação. Suponhamos um conjunto A com n elementos distintos, a partir do qual se formam agrupamentos com p elementos (p ≤ n). Temos:

Permutação simples

Permutação simples é qualquer agrupamento que se pode formar com todos os elementos disponíveis no problema, usando cada um deles uma única vez, e que se diferenciam um do outro apenas pela posição em que esses elementos aparecem no agrupamento.

Indica-se: Pn

Pn = n!

Combinação simples

Se um conjunto A tem n elementos, a combinação simples de p elementos escolhidos entre esses n elementos dados (p ≤ n) é qualquer subconjunto de A com p elementos. Indica-se: Cn,p ou .

Exercícios

Nos exercícios que apresentamos a seguir, você vai perceber como se aplicam, na prática, essas regras.

1. A partir de um grupo de 6 deputados e 4 senadores, de quantas formas distintas pode-se formar:

  • a) uma comissão de 4 pessoas?
  • b) uma comissão constituída por 3 deputados e 2 senadores?
  • c) uma comissão de 4 pessoas, com pelo menos 1 senador?
  • d) uma comissão de 3 pessoas, sendo um presidente, um vice-presidente e um relator?

Resolução:

Observe que, nos itens a, b e c, interessa-nos apenas quais são as pessoas distintas escolhidas ⇒ agrupamentos não ordenados ⇒ combinações simples.

No item d, interessa-nos também a ordem (cargo) em que as pessoas distintas são escolhidas ⇒ agrupamentos ordenados ⇒ arranjos simples.

a) Escolher 4 pessoas entre 10 disponíveis.

b) (Escolher 3 deputados entre os 6 disponíveis) e (escolher 2 senadores entre os 4 disponíveis).

c) Basta subtrair do total de combinações de 4 pessoas, o total de comissões em que não há nenhum senador.

Total de comissões de 4 pessoas: C4,10 = 210

Total de comissões de 4 pessoas, formadas só por deputados: C6,4 = 15

A comissão de 4 pessoas, com pelo menos 1 senador, pode ser formada de 210 – 15 = 195 maneiras.

d) Escolher 3 pessoas entre 10 disponíveis e, em seguida, ordená-las de acordo com os cargos:

A10,3 = 10 x 9 x 8 = 720

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