Equações biquadradas

Fragmentos da história

Galileu Galilei

Por volta do século XVII, Galileu Galilei, físico, astrônomo e matemático, realizara um experimento que mudaria os rumos da física. Diz-se que ele soltou do alto da Torre de Pisa, dois objetos com massas diferentes com a intenção de investigar a queda livre desses objetos. Ele percebeu que, desprezando-se a resistência do ar, os objetos chegaram ao solo ao mesmo tempo. Realizado o experimento, o grande Galileo escreveu a fórmula s = g . t², para expressar a lei da queda livre. Tempos depois, Isaac Newton, baseou-se na lei da queda livre para deduzir a lei da gravitação universal.

Em relação aos registros sobre equações de 2º grau, temos que a revelação de Galileo é um tanto quando recente. Em 825, por exemplo, o matemático Al-Khwarizmi escreveu o livro a ciência das equações. Ainda no mesmo século, ele apresentou e solucionou equações de 2º grau com uma incógnita utilizando áreas de quadrados e retângulos, o que hoje conhecemos por método de completar quadrados.

al-Khwarizmi

Este trabalho trata de equações biquadradas, sua definição, suas características e soluções; apresenta exemplos resolvidos para fixação dos conceitos adquiridos ao longo dos estudos; divulga fragmentos da história das equações.

Definição: equação biquadrada na incógnita x, é toda equação de grau 4, redutível à forma ax⁴ + bx² + c = 0, que pode ser convertida em uma equação de 2º grau. (Youssef et al., 2005)

Veja algumas equações biquadradas:

2x⁴ – 7x² – 4 = 0
m⁴ – 4m² + 3 = 0
2x⁴ – 2x² = 0

Para resolver uma equação biquadrada, utiliza-se o método da mudança de variável.

Resolvendo equações biquadradas

Resolva as equações exemplificadas anteriormente utilizando o método da mudança de variável.

a) 2x⁴ – 7x² – 4 = 0

Sabe-se que x⁴ = (x²)². Portanto, poderás substituir x² por t, e ao substituir x² por t, ter-se-á uma equação de 2º grau na incógnita t. Como é familiar a resolução de equações de grau 2, facilita-se a solução da equação biquadrada em questão.

2x⁴ – 7x² – 4 = 0

2t² – 7t – 4 = 0 → fazendo x² = t

a = 2, b = – 7 e c = – 4 → valores dos coeficientes

Δ = b² – 4ac → procure o valor do discriminante

Δ = (–7)² – 4 . 2 . (– 4)

Δ = 81

$t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ → fórmula resolutiva (Fórmula de Bhaskara)

$t = \frac{-(-7) \pm \sqrt{81}}{2 \times 2}$

$t_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{4}$

$t_1 = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$ → primeira raiz

$t_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{4}$

$t_2 = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ → segunda raiz

Solução da equação de 2° grau: $S = \{-\frac{1}{2}, 4\}$

Como x² = t, faça a substituição das raízes encontradas para a equação em t para encontrar as raízes da equação biquadrada.

Para $t = -\frac{1}{2}$ tem-se:

$t = x^2 = -\frac{1}{2} \rightarrow x = \pm \sqrt{-\frac{1}{2}}$ → Raízes quadradas negativas não existem nos reais.

Para t = 4, tem-se:

$\\t = x^2 = 2 \rightarrow x = \pm \sqrt{4}\\x = \pm 2$

Solução da equação biquadrada: S = {– 2, 2}

b) m⁴ – 4m² + 3 = 0

$t^2 - 4t + 3 = 0$ → fazendo m² = t

$a = 1, b = -4 \text{ e } c = 3$ → valores dos coeficientes

$\Delta = b^2 - 4ac$ → procure o valor do discriminante

$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3$

$\Delta = 4$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ → fórmula resolutiva (Fórmula de Bhaskara)

$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \times 1}$

$t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2}$

$t_1 = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ → primeira raiz.

$t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2}$

$t_2 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ → segunda raiz

Solução da equação de 2° grau: S = {1, 3}

Lembre-se de que m² = t ou t = m². Substitua as raízes encontradas.

Para t = 1, tem-se:

$\\t = m^2 = 1 \rightarrow m = \pm \sqrt{1}\\\\m = \pm 1$

Para t = 3, tem-se:

$t = m^2 = 3 \rightarrow m = \pm \sqrt{3}$

Solução da equação biquadrada: $S = \{-\sqrt{3}, -1, 1, \sqrt{3}\}$

c) 2x⁴ – 2x² = 0

2t² – 2t = 0 → fazendo x² = t

t(2t – 2) = 0 → método da fatoração

t₁ = 0 → "se x.y = 0, então x e/ou y = 0" → primeira raiz

2t – 2 = 0

2t = 2 → t₂ = 1 → segunda raiz

Solução da equação de 2° grau: S = {0, 1}

Como fez-se x² = t, substitua as raízes encontradas por t.

Para t = 0, tem-se:

t = x² = 0 → $x = \pm \sqrt{0}$

x = 0

Para t = 1, tem-se:

t = x² = 1 → $x = \pm \sqrt{1}$

x = ± 1

Solução da equação biquadrada: S = {– 1, 0, 1}

“Quando sonhamos, criamos um mundo onde os nossos desejos são todos possíveis. Viver é criar meios para tornar esses sonhos reais.”

(Robison Sá)

Referências bibliográficas:
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce. Matemática: ideias e desafios, 9º ano. –17. ed. – São Paulo: Saraiva, 2012.
YOUSSEF, Antonio Nicolau. Matemática: ensino médio, volume único / Antonio Nicolau Youssef, Elizabeth Soares, Vicente Paz Fernandez. – São Paulo: Scipione, 2005.