Equações fracionárias

Equações fracionárias são aquelas em que as incógnitas aparecem no denominador ou no numerador de equações. Basicamente, o que compõe uma equação fracionária são as chamadas frações algébricas, mas, a diferença é que agora devemos encontrar um valor para essas variáveis. Nunca devemos esquecer que uma fração é um número escrito na forma:

$\frac{p}{q}\Rightarrow q\neq 0$

A operações entre frações (adição, subtração, divisão e multiplicação de frações) serão peças chave para resolver essas equações. Vamos relembrar:

Adição e Subtração de Frações:

$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$

Multiplicação e Divisão de Frações:

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{c\cdot d}$

$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$

Exemplo 1) Vamos determinar qual é o valor de x na equação abaixo:

$\left(\frac{x+1}{x}\right)\cdot\left(\frac{3}{2}\right)=10$

Note que na equação, podemos multiplicar as duas frações do lado esquerdo do membro, onde obtermos:

$\frac{3x+3}{2x}=10$

Continuando, temos:

$3x+3=10\cdot(2x)$

$3x+3=20x$

$20x-3x=-3$

$17x=-3$

$x=-\frac{3}{17}$

Exemplo 2) Agora, vamos determinar o valor de x na expressão:

$\frac{x+2}{4}-\frac{5x}{3}=\frac{2x-3}{2}$

Somando as frações do lado esquerdo da expressão utilizando a propriedade de soma de frações, temos:

$\frac{3(x+2)-4(5x)}{12}=\frac{2x-3}{2}$

$\frac{3x+6-20x}{12}=\frac{2x-3}{2}$

$2(3x+6-20x)=12(2x-3)$

$6x+12-40x=24x-36$

$24x-6x+40x=12+36$

$58x=48$

$x=\frac{48}{58}$

Simplificando a fração obtida acima, obtemos:

$x=\frac{24}{29}$

Exemplo 3) Agora, este exemplo:

$\frac{3}{2x}-\frac{5}{x}+\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$

Como estamos lidando com equações, vamos isolar os termos dependentes de x e as constantes:

$\frac{3}{2x}-\frac{5}{x}=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}$

Agora basta somarmos as frações de ambos os lados:

$\frac{3x-10x}{2x^2}=\frac{3-4}{6}$

$\frac{-7x}{2x^2}=\frac{-1}{6}$

Multiplicando em cruz a igualdade, temos:

$-42x=-2x^2$

Como os dois lados da igualdade são negativas, podemos multiplicar tudo por (-1), o que nos dá:

$2x^2=42x$

$2x=42$

$x=\frac{42}{2}$

$x=21$

Referências Bibliográficas

GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/equacoes-fracionarias/