Matriz simétrica

Uma matriz simétrica é uma matriz que é igual à sua transposta. Para que esta definição faça sentido, apenas podemos considerar matrizes que são quadradas. De forma mais precisa, se A=[a_ij] é uma matriz de ordem n x n, nós dizemos que A é simétrica quando A=A^t.

Notem que podemos destacar algumas formas equivalentes de dizer que A é simétrica:

• A=A^t
• Para todos os índices i,j ∈ {1, 2, 3, ..., n}, temos que a_ij=a_ji
• As colunas de A são iguais as colunas de A^t
• As linhas de A são iguais às colunas de A^t

Exemplos:

1) Verifique se a matriz $A=\left\lbrack \begin{array}{ccc}5& 1& 2\\ 1& 6& 3\\ 2& 3& 8\end{array}\right\rbrack$ é simétrica.

$A^t=\left\lbrack \begin{array}{ccc}5& 1& 2\\ 1& 6& 3\\ 2& 3& 8\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack \begin{array}{ccc}5& 1& 2\\ 1& 6& 3\\ 2& 3& 8\end{array}\right\rbrack =A$

Logo, a matriz A é simétrica.

2) Verifique se a matriz $B=\left\lbrack \begin{array}{ccc}-3& 0& 7\\ 0& 5& -1\\ 7& -1& 4\end{array}\right\rbrack$ é simétrica.

$B^t=\left\lbrack \begin{array}{ccc}-3& 0& 7\\ 0& 5& -1\\ 7& -1& 4\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack \begin{array}{ccc}-3& 0& 7\\ 0& 5& -1\\ 7& -1& 4\end{array}\right\rbrack =B$

Logo, a matriz B é simétrica.

O conceito de matriz simétrica se aplica apenas a matrizes quadradas.

Os elementos da diagonal principal de uma matriz simétrica podem assumir valores arbitrários, porém, elementos simétricos com relação à diagonal principal são iguais.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/matriz-simetrica/