Máximo Divisor Comum (MDC)

Mestrado profissional em Matemática (UFSJ, 2015)
Graduada em Matemática (UFMG, 1989)

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Sejam os números 12, 18 e 30 e os conjuntos D(12), D(18) e D(30) de seus respectivos divisores, que são finitos e ordenados.

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Considerando agora o conjunto dos divisores comuns, isto é, o conjunto interseção de D(12), D(18) e D(30).

D(12) ∩ D(18) ∩ D(30) = {1, 2, 3, 6}

que é um conjunto finito e ordenado.

Como:

Todo conjunto finito e ordenado possui um máximo

Então, definimos:

Máximo Divisor Comum de dois ou mais números, ao maior valor da interseção dos conjuntos dos divisores dos números dados.

Cálculo do MDC de vários números

1º Processo: decomposição em fatores primos

Inicialmente, vejamos o que deve ocorrer com os fatores de um número D para que ele seja divisor de um outro número N. Assim, por exemplo, 6 é divisor de 30.

Como: 6 = 2 x 3 e 30 = 2 x 3 x 5,

Vemos que os fatores primos de 6 estão contidos nos fatores primos de 30.

Do mesmo modo, 9 é divisor de 54:

9 = 32 e 54 = 2 x 33.

Também se vê que os fatores primos do número 9 estão contidos nos fatores primos de 54.

Já, por outro lado, 9 não é divisor de 24 e vê-se que:

9 = 32 e 24 = 23 x 3.

Os fatores primos (3 x 3) do número 9 não estão contidos nos fatores primos (2 x 2 x 2 x 3) do número 24, que contém um só fator 3.

Então, podemos dizer:

Se D é divisor de N, então, os fatores primos de D devem estar contidos nos fatores primos de N.

Seja, então, calcular o m.d.c. (72, 120, 420)

Para facilitar a compreensão do conceito vamos apresentar inicialmente uma abordagem detalhada e descritiva para em seguida, mostrar o método prático.

D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

D(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

D(420) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420}

Os divisores comuns de 72, 120 e 420 são os elementos do conjunto

D(72) ∩ D(120) ∩ D(420) = {1, 2, 3, 6, 12) = D(12)

O maior desses divisores comuns (12) é chamado máximo divisor comum de 72, 120 e 420. Escrevemos: M.D.C (72, 120, 420) = 12

Em seguida, vamos apresentar o método prático, usando a decomposição em fatores primos.

Decompondo-se os números em fatores primos, obteremos:

72 = 23 x 32

120 = 23 x 3 x 5

420 = 22 x 3 x 5 x 7

O número D – divisor comum de 72, 120 e 420 – deverá conter apenas os fatores primos comuns a 72, 120 e 420, para ser divisor dos três. Esses fatores primos comuns são os números 2 e 3. Todavia para ser o maior divisor comum devemos tomar 22 x 31 porque 22 está contido em todas as decomposições, assim como 31.

Para se calcular o M.D.C. de vários números, conclui-se a regra:

  • Decompõem-se os números dados em seus fatores primos.
  • Toma-se o produto dos fatores primos comuns a essas decomposições, cada um deles tomado com o menor dos expoentes que esse fator possui nas decomposições.

Exemplo:

Calcular o M.D.C. (816, 360).

816 = 24 x 3 x 17

360 = 23 x 32 x 5

M.D.C. = 23 x 31 = 8 x 3 = 24

2º Processo: método das divisões sucessivas

Para se achar o M.D.C. de dois números, divide-se o maior pelo menor. A seguir, divide-se o menor pelo resto da divisão entre o maior e o menor. A seguir, divide-se o 1º resto pelo 2º resto e assim sucessivamente. Quando se obtiver um resto zero, o último divisor é o M.D.C. procurado.

Exemplo:

Calcular o M.D.C. (258, 120)

3º Processo: método da decomposição simultânea

Nesse caso, a cada passo decomposição, vamos assinalar com “asterisco” cada fator que é divisor comum de todos os números à esquerda da linha do algoritmo.

Exemplo

Calcular o M.D.C. (420, 600).

O M.D.C. é dado pelo produto dos fatores que estão assinalados com “asterisco”.

M.D.C. (420, 600) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Máximo Divisor Comum de mais de dois números

Calcular o M.D.C. (240, 180, 72, 54). Neste caso, utilizamos o método das divisões sucessivas em etapas, conforme podemos observar no esquema seguinte, onde chamamos de R1 e R2 os resultados parciais e R o resultado final.

R1 = 60

R2 = 18

R = 6 ou

M.D.C. (240, 180, 72, 54) = 6

Exercícios resolvidos

1º) (ENEM) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir:

A) 105 peças.
B) 120 peças.
C) 210 peças.
D) 243 peças.
E) 420 peças.

Vamos obter o M.D.C. (540, 810, 1080) porque desejamos cortar as tábuas em pedaços iguais, sem deixar sobras, e atendendo ao requisito de que as novas peças tenham o maior tamanho possível.

Além disso, devemos observar que o comprimento de cada peça deve ser menor que 2m, ou seja, 200 cm.

O M.D.C. (540, 810, 1080) = 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 270 > 200

Para obter o comprimento de cada peça, devemos encontrar o maior divisor de 270 que é 135.

Dividindo cada tábua por 135 cm e multiplicando pela respectiva quantidade de tábuas de cada tipo, temos:

Tipo I: 540 ÷ 135 = 4 x 40 = 160

Tipo II: 810 ÷ 135 = 6 x 30 = 180

Tipo III: 1080 ÷ 135 = 8 x 10 = 80

Total de peças: 160 + 180 + 80 = 420

Resposta: letra E

2º) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;

2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;

3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é:

A) 2
B) 4
C) 9
D) 40
E) 80

Pela decomposição dos números 320 e 420, temos:

320 = 26 x 5

420 = 24 x 52

O M.D.C. (320, 420) = 24 x 5 = 80 ingressos para cada escola

320 ÷ 80 = 4

400 ÷ 80 = 5

Portanto, o total de peças é 4 + 5 = 9

Resposta: letra C

Leia também:

Referências bibliográficas:

1. LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 1. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012.

2. MOREIRA, Carlos T. de A.; SALDANHA, Nicolau C.; MARTINEZ, Fábio E. B. Tópicos em Teoria dos Números, Coleção PROFMAT, 2012.

3. HEFEZ, Abramo. Elementos de Aritmética. Coleção Textos Universitários, SBM. Edição 2006.

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