Número de Ouro

O número de ouro (ou proporção áurea) é uma descoberta da matemática que foi motivada pela busca de proporções que estão presentes na natureza. Esta curiosidade despertou muitas mentes desde antiguidade. De Euclides (Século III a.C.) até os dias atuais, a paixão pelas proporções e padrões presentes na natureza com um tratamento algébrico e/ou geométrico encanta não só matemáticos, mas artistas, designers, arquitetos, etc. Alguns historiadores acreditam que a proporção áurea foi descoberta séculos antes pelos egípcios — a razão entre a altura de inclinação e metade da medida da base da Grande Pirâmide do Egito (Quéops) é muito próxima à proporção áurea.

Também conhecida como razão áurea, média áurea, proporção divina e regra de ouro, pode ser obtida a partir de um segmento de reta. Seja a parte maior deste segmento e b o menor como na figura abaixo:

Agora, tomemos uma expressão de modo que especificamente a soma de ambas, dividida pela parte maior seja igual a parte maior dividida pela menor,

$\phi=\frac{(a+b)}{a}=\frac{a}{b}$

esta expressão é chamada de razão áurea, na qual é atribuída a constante fi: $\phi$. Se o segmento for dividido, segundo estas condições, o valor desta constante é obtido e é chamado de número de ouro. O valor aproximado é:

$\phi=1,6180339887...$

Exemplos

1) A sequência de Fibonacci possui propriedades que nos levam ao número de ouro. Para obtermos esta sequência é necessário considerar que o seu primeiro termo é igual a 1, e seguindo temos:

$a_1=1$

$a_2=a_1+\text{ anterior }=1^{*}$

* Neste caso, não possui antecessor, então ele também ocupará a segunda posição. Continuando:

$a_3=a_2+a_1=1+1=2$

$a_4=a_3+a_2=2+1=3$

$a_5=a_4+a_3=3+2=5$

Se continuarmos esta operação infinitamente, obteremos a seguinte sequência:

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … )

Para extrairmos o numero de ouro desta sequência basta obtermos a razão entre dois números consecutivos dela. À medida que os números aumentam, mais próximos chegamos de $\phi$, veja:

$\frac{1}{1}=1$

$\frac{2}{1}=2$

$\frac{3}{2}=1,5$

$\frac{5}{6}=1,666...$

$\frac{8}{5}=1,6$

...

$\frac{34}{21}=1,619047...$

$\frac{55}{34}=1,6176470588...$

2) Ao calcularmos a expressão abaixo também obtemos o número de ouro:

$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,6180339887...$

3) O número de ouro satisfaz duas equações interessantes. A primeira, a razão entre 1 e fi é igual a fi menos um:

$\frac{1}{\phi}=\phi-1$

Manipulando esta equação obtemos:

$\phi(\phi-1)=1$

$\phi^2-\phi=1$

Temos então a segunda relação:

$\phi^2=1+\phi$

4) A espiral de Fibonacci aparece quando construímos uma série de quadrados cujos lados são os números da sequência de Fibonacci. É também possível construí-lo a partir da regra da proporção áurea. Em outras palavras, a espiral pode ser formada pela colagem de arcos de um quarto de círculo em quadrados cujos lados diminuam em razão de $\phi$. Seguindo esta razão obtemos:

Ilustração: Mark Rademaker / Shutterstock.com

É interessante notar também que esta espiral aparece em muitos elementos da natureza:

Conchas de alguns moluscos possuem a proporção áurea. Foto: Lorna Roberts / Shutterstock.com

5) A regra de ouro aparece na representação da árvore genealógica de uma abelha. Cada macho tem apenas um genitor fêmea, ao passo que cada fêmea tem dois, um macho e uma fêmea. Esta proporção numa colmeia também se aproxima do número de ouro.

É possível ainda encontrar diversos exemplos de onde o número de ouro aparece como uma constante da natureza e também como uma ferramenta de trabalho para profissionais como designers, engenheiros e artistas. Esta constante continua sendo discutida por estudiosos, onde divide opiniões: alguns acreditam que ela é de fato uma lei universal, outros dizem que não passa de uma coincidência. Mas, independente de um consenso, o número de ouro continua instigando muitas mentes curiosas.

Referências Bibliográficas

AKHTARUZZAMAN, Md.; SHAFIE, Amir A. Geometrical Substantiation of Phi, the Golden Ratio and the Baroque of Nature, Architecture, Design and Engineering. International Journal of Arts 2011; 1(1): 1-22 DOI: 10.5923/j.arts.20110101.01.

Link: http://article.sapub.org/pdf/10.5923.j.arts.20110101.01.pdf

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/numero-de-ouro/