Regras de derivação

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

As regras de derivação são formas de generalizar a derivada de algumas funções. Elas são muito úteis quando, ao resolver um exercício, por exemplo, podemos identificar a forma que a sua expressão assume. Por exemplo: uma função pode ser resultado da soma de duas outras, ou o produto, a razão. Vamos mostrar mais adiante essas estruturas, mas antes, vamos relembrar a definição de derivação:

Definição: Seja 𝑓 uma função e 𝑝 um ponto do seu domínio. O limite:

quando existe e é finito, o chamamos de derivada de 𝑓 em 𝑝 e indica-se por 𝑓′(𝑝). Ou seja:

Se 𝑓 admite derivada em 𝑝, então dizemos que 𝑓 é diferenciável ou derivável em𝑝.

Exemplo 1 - Soma de duas funções:

Como dito anteriormente, a expressão de uma função pode ter algumas formas que podemos identificar com facilidade. Por exemplo, a função abaixo,

pode ser obtida pela soma de duas funções, ambas de 𝑥, ou seja:

O que nos traz:

Por uma questão de praticidade, podemos chamar a função 𝑢(𝑥) apenas de 𝑢 e a função 𝑣(𝑥) apenas de 𝑣. Agora podemos nos perguntar: Como derivar uma função em que sua expressão é sempre a soma de duas ou mais funções? Vamos generalizar:

Sejam 𝑢 e 𝑣 diferenciáveis em 𝑝, então 𝑢 + 𝑣 também é diferenciável em 𝑝. Logo, por definição podemos escrever:

E, calculando esta derivada desta função num ponto 𝑝, a partir da definição de derivação, temos:

Como podemos ver:

A derivada de uma soma é igual a soma das derivadas.

Exemplo 2 - Um número real multiplicado por uma função:

Agora, vamos considerar uma função que esteja sendo multiplicada por um número real 𝛼. Por exemplo:

Podemos representar essa expressão da seguinte maneira:

Logo:

Utilizando a definição para calcular a derivada num ponto 𝑝 de funções desse tipo, temos:

Existem diversas outras regras de derivação, sendo que todas elas podem ser obtidas a partir da definição formal da derivada de uma função. Abaixo uma lista com as regras mais utilizadas:

Produto de duas funções:

Divisão de duas funções:

Algumas derivadas elementares:

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.

ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.

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