Relações de Girard

Mestre em Oceanografia Física (USP, 2019)
Graduada em Física (UFABC, 2016)

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As equações polinomiais são muito importantes e fazem parte de várias questões do nosso dia a dia, por exemplo, na física (lançamento de projéteis), na biologia (fotossíntese das plantas), no funcionamento de empresas (lucro de vendas, contabilidade, etc.), em serviços diários (ângulo antena parabólica), etc. Dessa forma, entender seu funcionamento e seus elementos se torna muito importante para resolver questões cotidianas.

Definição: Chama-se de equação polinomial de grau n, , na variável , toda equação que pode ser escrita da forma:

Onde an, an-1, ..., a0 são os coeficientes reais do polinômio p(x), sendo que p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... a2x2 + a1x + a0. Além disso, dizemos que , é uma raiz de p(x) se p(z) = 0.

Muitos estudiosos trabalharam em diversos métodos para resolução desse tipo de equação e um deles foi Albert Girard. A ideia dele foi relacionar os coeficientes (reais ou complexos) e as raízes de uma equação polinomial. Essas relações ficaram conhecidas como Relações de Girard e são muito utilizadas até hoje. Vejamos como escrevê-las para polinômios de diversos graus.

Polinômios de 2° grau

Sejam 𝑝(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 , onde a ≠ 0, x1 e x2 raízes de p(x), então as relações de Girard são dadas por:

Essas são as famosas soma e produto das raízes de uma equação de segundo grau.

Polinômios de 3° grau

Considere o polinômio 𝑝(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑, onde a ≠ 0, e sejam x1, x2 e x3 raízes de p(x), então as relações de Girard são dadas por:

Polinômios de 4° grau

Seja o polinômio de quarto grau 𝑝(𝑥)=𝑎𝑥4+𝑏𝑥3+𝑐𝑥2+𝑑𝑥+𝑒, onde a ≠ 0, e sejam x1, x2, x3 e x4 raízes desse polinômio. Escrevemos que as relações de Girard de uma equação polinomial de quarto grau são:

Polinômios de grau n

Se p(x)=𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 é um polinômio de grau n (n ≥ 1), onde an ≠ 0, cujas raízes são x1, x2,...,xn, então temos que as relações de Girard podem ser escritas como:

Ou seja, teremos tantas relações de Girard quanto for o grau do polinômio que compõe a equação polinomial estudada.

Exemplo:

(FUVEST-2004- adaptado) O produto de duas raízes do polinômio 𝑝(𝑥)=2𝑥³−7𝑥²+4𝑥+3 é igual a -1. Determine as raízes de p.

Solução:

Sejam r, s e t as raízes do polinômio p(x), do enunciado temos que r.s = -1 ↔ r = -1/s    (I)

Usando as relações de Girard e o resultado (I), e temos que:

Manipulando (II), encontramos que

Logos as três raízes de p(x) são:

Referências:

CASAROTO, Patrícia. Um estudo sobre equações polinomiais dedicado ao Ensino Básico. Tese (Mestrado em Matemática) – Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Rio Claro, SP. 2013.

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