Simplificação de radicais - Matemática

Toda expressão matemática que tenha forma $\sqrt[n]{a}$ , com $a\in\mathbb{R}_+,n\in\mathbb{N}\text{ e }n>1$ , recebe o nome de radical aritmético.

Em todo radical, podemos destacar:

Assim:

No radical $\sqrt[3]{2}$ , o índice é 3, e o radicando é 2.

No radical $\sqrt[5]{3}$ , o índice é 5, e o radicando é 3.

No radical $\sqrt{7}$ , o índice é 2 (=raiz quadrada, o índice é omitido), e o radicando é 7.

Simplificando radicais

Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, de acordo com a propriedade $\sqrt[n]{n}$ , esses fatores podem ser extraídos do radicando.

Em alguns casos, o expoente do radicando é maior que o índice do radical. Procura-se, então, fazer transformações convenientes no radicando, como você pode ver nas expressões abaixo.

Exemplo 1:

$\sqrt{2^3}=\sqrt{2^2\cdot 2}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot\sqrt{2}$

Exemplo 2:

$\sqrt[3]{10^7}=\sqrt[3]{10^3\cdot 10^3\cdot 10}=10\cdot 10\cdot\sqrt[3]{10}=100\cdot\sqrt[3]{10}$

Exemplo 3:

$\sqrt[3]{3^5\cdot 2^4}=\sqrt[3]{3^3\cdot 3^3\cdot 2^3\cdot 2}=3\cdot 2\cdot\sqrt[3]{18}$

Exemplo 4:

$\sqrt{2^4\cdot 5^3}=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 5^2\cdot 5}=2\cdot 2\cdot 5\cdot\sqrt{5}=20\cdot\sqrt{5}$

Há situações, porém, em que temos necessidade de fazer uma fatoração do radicando antes de realizar a extração dos fatores. Veja alguns exemplos.

1. Simplificar a expressão $\sqrt{45}$ .

Fatorando o radicando 45, encontramos $3^2\cdot 5$ . Daí, temos:

$\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}=3\cdot\sqrt{5}$

2. Qual é a forma mais simples possível de escrita da expressão $\sqrt[3]{1250}$ ?

Fatorando o radicando 1250, encontramos $2\cdot 5^4$ . Daí, temos:

$\sqrt[3]{2\cdot 5^3\cdot 5}=5\cdot\sqrt[3]{10}$

3. Sabendo que x e y são números reais positivos, simplifique a expressão $\frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{54x^4\cdot y}$

Fatorando o radicando 54, encontramos 54 = 2.3³. Daí, temos:

4. Simplifique a expressão:

$\sqrt{196}=\sqrt{2^2\cdot 7^2}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{7^2}=2\cdot 7 =14$

5. Simplifique a expressão:

$\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=\sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt[3]{3^3}=2\cdot 3=6$

6. Simplifique a expressão:

$\sqrt{360}=\sqrt{2^3\cdot 3^2\cdot 5}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{5}=2\cdot 3\cdot\sqrt{10}=6\sqrt{10}$