Transformações trigonométricas

Quando trabalhamos com arcos trigonométricos ou com equações trigonométricas saber como reescrever alguns ângulos facilitam as manipulações algébricas e, por consequência, a resolução desses problemas. Assim, aprender formas de reescrever esses ângulos é de extrema importância e pode ser realizada utilizando as chamadas transformações trigonométricas.

Transformações trigonométricas: fórmulas de adição e subtração

Sejam a e b dois arcos trigonométricos, vejamos como escrever as transformações para o seno e o cosseno da soma desses ângulos:

$s\mathit{en}\left(a+b\right)=\text{sen }a\mathrm{.}\cos b+\text{sen }b\mathrm{.}\cos a$

$s\mathit{en}\left(a-b\right)=\text{sen }a\mathrm{.}\cos b-\text{sen }b\mathrm{.}\cos a$

$\cos \left(a+b\right)=\cos a\mathrm{.}\cos b- \text{sen }a\mathrm{.}\text{sen }b$

$\cos \left(a-b\right)=\cos a\mathrm{.}\cos b+\text{sen }a\mathrm{.}\text{sen }b$

Para tangente também podemos escrever a soma e a subtração de dois ângulos a e b, porém, nesse caso temos uma restrição.

Para a soma, $a+b\ne \frac{\pi }{2}+k\mathrm{.}\pi ,\text{sendo }k\in Z$. Com isso temos que:

Para a subtração, $a-b\ne \frac{\pi }{2}+k\mathrm{.}\pi ,\text{sendo }k\in Z$. Com isso temos que:

Exemplo

Determine $\text{sen }\left(75^o \right)$, $\cos \left(15^o \right)$e $\mathit{tg}\left(105^o \right).$

Solução:

Utilizando as relações apresentadas acima para $\text{sen }\left(a+b\right)$ e $\cos \left(a-b\right)$ temos:

$\text{sen }\left(75^o \right)=\text{sen }\left(30^o +45^o \right)=\text{sen }30^o \mathrm{.}\cos 45^o +\text{sen }45^o \mathrm{.}\cos 30^o =\frac{1}{2}\mathrm{.}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\cos \left(15^o \right)=\cos \left(45^o -30^o \right)=\cos 30^o \mathrm{.}\cos 45^o +\text{sen }45^o \mathrm{.}\text{sen }30^o =\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{.}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\mathit{tg}\left(105^o \right)=\mathit{tg}\left(60^o +45^o \right)=\frac{\mathit{tg}60^o +\mathit{tg}45^o }{1-\mathit{tg}60^o \mathrm{.}\mathit{tg}45^o }=\frac{\frac{\sqrt{3}}{1}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{1}\mathrm{.}\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}\frac{2}{2-2\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2-2\sqrt{3}+\sqrt{2}}.$

Transformações trigonométricas: fórmulas para o arco duplo

Seja o arco ‘a’, o arco duplo será composto por $a+a=2a$. Utilizando equações anteriores podemos chegar em:

$\text{sen }\left(2a\right)=2\mathrm{.}\text{sen }a\mathrm{.}\cos a$

$\cos \left(2a\right)=1- 2\mathrm{.}\text{sen }\mathrm{{^2}}a$

$\mathit{tg}\left(2a\right)=\frac{2.\mathit{tg}a}{1-\mathit{tg}\mathrm{{^2}}a}$

Transformações trigonométricas: fórmulas da metade do arco

Seja ‘a’ um arco trigonométrico, vejamos as transformações trigonométricas para metade dele, ou seja, para $\frac{a}{2}$.

$\text{sen }\left(\frac{a}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}$

$\cos \left(\frac{a}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}$

$\mathit{tg}\left(\frac{a}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}$

Exemplo

Seja $\text{sen }\left(x\right)=\frac{1}{4}$. Determine $\text{sen }\left(4x\right)$.

Solução:

Utilizando as fórmulas vistas acima, temos que

$\text{sen }\left(4x\right)=\text{sen }\left(2x+2x\right)=\text{sen }\left(2x\right)\mathrm{.}\cos \left(2x\right)+\text{sen }\left(2x\right)\mathrm{.}\cos \left(2x\right)=2.\text{sen }\left(2x\right)\mathrm{.}\cos \left(2x\right)=2.\left(2.\text{sen }x \mathrm{.}\mathit{cos} x\right)\mathrm{.}\left(2.\text{sen } x \mathrm{.}\mathit{cosx}\right)=8.\text{sen }\mathrm{{^2}}x\mathrm{.}\cos \mathrm{{^2}}x=8.\mathit{se}{n}^{2}x\mathrm{.}\left(1-\mathit{se}{n}^{2}x\right)=8.\text{sen }\mathrm{{^2}}x-8.\mathit{se}{n}^{4}x=8.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{2}-8.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{4}=\frac{8}{16}-\frac{8}{256}=\frac{15}{32}.$

Logo, $\text{sen }\left(4x\right)=\frac{15}{32}$.

Fórmulas de Prostaférese

As chamadas fórmulas de Prostaférese são transformações usadas para fatorar expressões trigonométricas.

$\text{sen }a+\text{sen }b=2\text{sen }\left(\frac{a+b}{2}\right)\mathrm{.}\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$

$\text{sen }a-\text{sen }b=2\text{sen }\left(\frac{a-b}{2}\right)\mathrm{.}\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)$

$\cos a+\cos b=2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\mathrm{.}\cos \left(\frac{a-b}{2}\right)$

$\cos a-\cos b=-2\text{sen }\left(\frac{a+b}{2}\right)\mathrm{.}\text{sen }\left(\frac{a-b}{2}\right)$

Exemplo

Fatores a expressão $\text{sen }\left(4x\right)+\cos \left(3x\right)-\text{sen }\left(2x\right)+\cos \left(x\right)$.

Solução:
Separando as partes com seno e cosseno, encontramos duas expressões:

* Separando só a parte dos senos e aplicando Prostaférese, onde a=4x e b=2x:

(I) $\text{sen }4x-\text{sen }2x=2\text{sen }\left(\frac{4x-2x}{2}\right)\mathrm{.}\cos \left(\frac{4x+2x}{2}\right)=2.\text{sen }\left(x\right)\mathrm{.}\cos \left(3x\right)$

* Separando a parte dos cossenos e aplicando Prostaférese, onde a = 3x e b = x:

(II) $\cos 3x+\cos x=2\cos \left(\frac{3x+x}{2}\right)\mathrm{.}\cos \left(\frac{3x-x}{2}\right)=2.\text{sen }\left(2x\right)\mathrm{.}\cos \left(x\right)$

Juntando (I) e (II):

$\text{sen }4x-\text{sen }2x+\cos 3x+\mathit{cosx}=2.\text{sen }\left(x\right)\mathrm{.}\cos \left(3x\right)+2\cos \left(x\right)\mathrm{.}\text{sen }\left(2x\right)$

Referências:
KIHIAN, Kleber. Fórmulas de Prostaférese. Disponível em: https://www.obaricentrodamente.com/2009/07/formulas-de-prostaferese.html

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/transformacoes-trigonometricas/