Transformações trigonométricas

Mestre em Oceanografia Física (USP, 2019)
Graduada em Física (UFABC, 2016)

Publicado em 14/09/2022
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Quando trabalhamos com arcos trigonométricos ou com equações trigonométricas saber como reescrever alguns ângulos facilitam as manipulações algébricas e, por consequência, a resolução desses problemas. Assim, aprender formas de reescrever esses ângulos é de extrema importância e pode ser realizada utilizando as chamadas transformações trigonométricas.

Transformações trigonométricas: fórmulas de adição e subtração

Sejam a e b dois arcos trigonométricos, vejamos como escrever as transformações para o seno e o cosseno da soma desses ângulos:

Para tangente também podemos escrever a soma e a subtração de dois ângulos a e b, porém, nesse caso temos uma restrição.

Para a soma, . Com isso temos que:

Para a subtração, . Com isso temos que:

Exemplo

Determine , e

Solução:

Utilizando as relações apresentadas acima para e temos:

Transformações trigonométricas: fórmulas para o arco duplo

Seja o arco ‘a’, o arco duplo será composto por . Utilizando equações anteriores podemos chegar em:

Transformações trigonométricas: fórmulas da metade do arco

Seja ‘a’ um arco trigonométrico, vejamos as transformações trigonométricas para metade dele, ou seja, para .

Exemplo

Seja . Determine .

Solução:

Utilizando as fórmulas vistas acima, temos que

Logo, .

Fórmulas de Prostaférese

As chamadas fórmulas de Prostaférese são transformações usadas para fatorar expressões trigonométricas.

Exemplo

Fatores a expressão .

Solução:
Separando as partes com seno e cosseno, encontramos duas expressões:

* Separando só a parte dos senos e aplicando Prostaférese, onde a=4x e b=2x:

(I)

* Separando a parte dos cossenos e aplicando Prostaférese, onde a = 3x e b = x:

(II)

Juntando (I) e (II):

Referências:
KIHIAN, Kleber. Fórmulas de Prostaférese. Disponível em: https://www.obaricentrodamente.com/2009/07/formulas-de-prostaferese.html

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