Arranjo simples

Utilizamos o arranjo simples para obter a quantidade de agrupamentos possíveis de serem realizados com os elementos de um conjunto finito. No arranjo os elementos trocam de posição, ou seja, ordem. Com isso os agrupamentos tornam-se distintos, por possuírem seus elementos organizados em uma ordem diferente. Veja a seguir um exemplo de arranjo simples.

Exemplo: Mostre os agrupamentos possíveis de serem realizados com o conjunto A ={5,6,7,8}; cada agrupamento deve possuir 3 elementos distintos.

Reposta:

(5,6,7) (5,6,8) (5,7,8) (6,7,8)

(5,7,6) (5,8,6) (5,8,7) (6,8,7)

(6,5,7) (6,5,8) (7,5,8) (7,6,8)

(6,7,5) (6,8,5) (7,8,5) (7,8,6)

(7,6,5) (8,5,6) (8,5,7) (8,7,6)

(7,6,5) (8,6,5) (8,7,5) (8,6,7)

Observe que as sequências formadas com 3 elementos são diferentes entre si, em alguns casos o conjunto possui os mesmo termos que outro conjunto, o que muda é a posição dos elementos. Como é o caso de (5,6,7) e (5,7,6); observe que os elementos 6 e 7 trocaram de posição, as sequências obtidos com três elementos referentes ao conjunto A ={5,6,7,8}; são chamadas de arranjo simples.

Do exemplo acima obtemos que de um conjunto com 4 elementos distintos, podemos obter 24 arranjos simples. Podendo ser representar da seguinte forma:

A_{4,3} = 24

Para encontramos a quantidade de arranjos possíveis sem precisarmos expressas cada arranjo individualmente, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem.

Definição: Dado um com A = {a1, a2, a3, ..., an} com n elementos distintos, chamaremos de arranjo simples toda a sequência formada por uma quantidade delimitada de elementos, sendo todos esses elementos pertencentes ao conjunto A.

Formula Geral para calcular o Arranjo Simples

A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}

  • n = Quantidade total de elementos no conjunto.
  • P =Quantidade de elementos por arranjo

Exemplos:

Dado o conjunto B = {d,e,f,g}, responda:

a) Quantos são os arranjos simples dos elementos de B tomados de 2 a 2?

Para calcular a quantidade de arranjos, basta aplicar a fórmula:

A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}

Nessa questão temos que:

n = 4 (Quantidade total de elementos do conjunto B)

p = 2 (Quantidade de elementos por arranjo)

Substitua na equação n por 4 e p por 2

A_{4,2} = \frac{4!}{(4-2)!}

A_{4,2} = \frac{4!}{2!}

A_{4,2} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!}

A_{4,2} = 4 \cdot 3

A_{4,2} = 12

Tomando os elementos do conjunto B de 2 a 2, será possível formar 12 arranjos.

b) Quantos são os arranjos simples dos elementos de B tomados de 3 a 3?

Aplicaremos a fórmula para arranjo simples:

A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}

Nessa questão temos que:

n = 4 (Quantidade total de elementos do conjunto B)

p = 3 (Quantidade de elementos por arranjo)

Substitua na equação n por 4 e p por 3

A_{4,3} = \frac{4!}{(4-3)!}

A_{4,3} = \frac{4!}{1!}

A_{4,3} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1!}{1}

A_{4,3} = 4 \cdot 3 \cdot 2

A_{4,3} = 24

Tomando os elementos do conjunto B de 3 a 3, será possível formar 24 arranjos.

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