Arranjo Simples

Por Evandro Makiyama
A Fórmula do Arranjo Simples em combinatória, denotado por An,k, onde arranjamos k objetos de n objetos dados, é uma fórmula muito importante dada por:

A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}

É muito útil na solução de problemas de contagem onde a ordem é levada em consideração.
Ela pode ser pensada da seguinte forma: para arranjarmos k objetos de n objetos dados podemos primeiramente escolher k objetos de n, que pela Fórmula Binominal podemos fazer de

{n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

 

maneiras diferentes, e logo em seguida multiplicamos pelo número de maneiras que podemos ordenar estes k objetos escolhidos, que é de k! maneiras:

A_{n,k} = {n \choose k} \cdot k! = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot k! = \frac{n!}{(n-k)!}

 

Outra forma de derivarmos essa fórmula é usarmos o princípio fundamental da contagem da Análise Combinatória, assim: podemos escolher o primeiro objeto de n formas diferentes, o segundo de (n-1) formas diferentes, e assim por diante, até o k-ésimo que podemos escolher de (n-(k-1)) formas diferentes, multiplicando tudo temos n.(n-1)...(n-(k-1))= An,k. Para  ver isto basta abrir a fórmula de An,k.

Vamos resolver um problema para podermos fixar melhor estas idéias:

Numa corrida entre 10 competidores premia-se os dois primeiros com dois chocolates idênticos. Quais são as possibilidades de premiação?

Bem, nesse caso a ordem não é importante, então basta ver de quantos modos pode-se terminar a corrida. Neste caso, basta calcular:

{10 \choose 2} = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45

 

Que é o número de maneiras de dois dos dez competidores ganhar a corrida.

Então este é o número de maneiras de se premiar.

Suponha agora que resolvemos premiar o primeiro colocado com um sorvete e o segundo com um chocolate. Nesse caso, a ordem é importante, não basta saber quem foram os dois primeiros, é preciso saber quem foi o primeiro e quem foi o segundo. Assim, precisamos usar a fórmula do arranjo que resulta em:

\frac{10}{8!} = 10 \cdot 9 = 90

 

maneiras de se premiar.

Bibliografia:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Arranjo_(matemática)#Arranjo
História da Matemática, Carlo, B. Boyer