Análise combinatória - Matemática

Podemos determinar a análise combinatória como sendo um conjunto de possibilidade constituído por elementos finitos, a mesma baseia-se em critérios que possibilitam a contagem. Realizamos o seu estudo na lógica matemática, analisando possibilidades e combinações. Acompanhe o exemplo a seguir, para poder compreender melhor o que vêm a ser a análise combinatória.

Exemplo: Descubra quantos números com 3 algarismos conseguimos formar com o conjunto numérico {1, 2, 3}.

Conjunto de elementos finito: {1, 2, 3}

Conjunto de possibilidades de números com 3 algarismos: {123, 132, 213, 231, 312, 321}

Resposta Final: Com o conjunto numérico {1, 2, 3}, é possível formar 6 números.

A análise combinatória estuda os seguintes conteúdos:

Princípio fundamental da contagem
Fatorial
Permutação simples
Permutação com repetição
Arranjo simples
Combinação simples

Confira a seguir uma definição resumida de cada tópico estudo pela análise combinatória.

Princípio fundamental da contagem

Determina o número total de possibilidade de um evento ocorrer, pelo produto de m x n. Sendo n e m resultados distintos de um evento experimental.

Exemplo: Jeniffer precisa comprar uma saia, a loja em que está possui 3 modelos de saia diferente nas cores: preto, rosa, azul e amarelo. Quantas opções de escolha Jeniffer possuí.

Para solucionar essa questão utilizamos o principio fundamental da contagem.

m = 3 (Modelos diferentes de saia), n = 4 (Cores que a saia possui)

m x n = 3 x 4 = 12

Jeniffer possui 12 possibilidades de escolha.

Fatorial

O fatorial de um número qualquer, e representado pelo produto:

n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!

Exemplo: Calcule 4!

n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!
4! = 4 . (4 – 1) . (4 – 2) . (4 – 3)
4! = 4 . 3. 2 . 1
4! = 24

Permutação simples

Na permutação os elementos que compõem o agrupamento mudam de ordem, ou seja, de posição. Determinamos a quantidade possível de permutação dos elementos de um conjunto, com a seguinte expressão:

P_n = n!
P_n = n . (n-1) . (n-2) . (n-3).....1!

Exemplo: Em uma eleição para representante de sala de aula, 3 alunos candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. Quais são os possíveis resultados dessa eleição?

Vanessa (V), Caio (C), Flávia (F)

Os possíveis resultados dessa eleição podem ser dados com uma permutação simples, acompanhe:

n = 3 (Quantidade de candidatos concorrendo a representante)

P_n = n!

P_n = 3 . 2 . 1!
P_n = 6

Para a eleição de representante, temos 6 possibilidades de resultado, em relação a posição dos candidatos, ou seja, 1º, 2º e 3º lugar. Veja a seguir os possíveis resultados dessa eleição.

Resultado 1	Resultado 2	Resultado 3	Resultado 4	Resultado 5	Resultado 6
VCF	VFC	CVF	CFV	FCV	FVC

Permutação com repetição

Nessa permutação alguns elementos que compõem o evento experimental são repetidos, quando isso ocorrer devemos aplicar a seguinte fórmula:

$P_n (n_1, n_2, n_3 \ldots n_k) = \frac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{3}! \ldots n_{k}!}$

$P_n (n_1, n_2, n_3 \ldots n_k)$ = permutação com repetição
${n!}$ = total de elemetos do evento
${n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{3}! \ldots n_{k}!}$ = Elementos repetidos do evento

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra CASA.

A palavra CASA possui: 4 letras (n) e duas vogais que se repetem (n₁).

n! = 4!
n₁! = 2!

$P_{n}(n_1) = \frac{n!}{n_{1}!}$

$P_{n}(n_1) = \frac{4!}{2!}$

$P_{n}(n_1) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1!}{2 \cdot 1!}$

$P_{n}(n_1) = \frac{24}{2} = 12$

Anagramas da palavra CASA sem repetição
CASA	ACSA	ASCA	ASAC	SCAA	CSAA
AASC	AACS	CAAS	SAAC	SACA	ACAS

Arranjo simples

No arranjo simples a localização de cada elemento do conjunto forma diferentes agrupamentos, devemos levar em consideração, a ordem de posição do elemento e sua natureza, além disso, devemos saber que ao mudar os elementos de posição isso causa diferenciação entre os agrupamentos.

Para saber a quantidade de arranjos possíveis em p agrupamento com n elementos, devemos utilizar a fórmula a seguir:

$A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}$

A = Arranjo
n = elementos
p = Agrupamentos

No arranjo a quantidade de agrupamento p, sempre deve ser menor que n, ou seja:

$p \leq n$

Exemplo: Flávia, Maria, Gustavo e Pedro estão participando de uma competição em que há premiação para os três primeiros colocados (1º, 2º e 3º). Quais são as possibilidades de premiação?

Quantidade de participantes da competição: n = 4
Quantidade de pessoas em cada agrupamento (premiação): p = 3

$A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}$

$A_{4,3} = \frac{4!}{(4-3)!}$

$A_{4,3} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1!}{1!}$

$A_{4,3} = \frac{24}{1} = 24$

Existem 24 possibilidades de premiação.

Combinação simples

Na combinação simples, em um agrupamento mudamos somente a ordem dos elementos distintos. Para que isso seja feito podemos recorrer à utilização da fórmula:

$C_{n,p} = \frac{n!}{p! \cdot (n-p)!}$

C = Combinação
n = Elementos.
p = Agrupamento

Sendo sempre: $p \leq n$

Exemplo: De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos

Total de bolinhas: n = 10
Quantidade de bolinhas por saquinho: p = 2

$C_{n,p} = \frac{n!}{p! \cdot (n-p)!}$

$C_{10,2} = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!}$

$C_{10,2} = \frac{3628800}{2 \cdot (8)!}$

$C_{10,2} = \frac{3628800}{2 \cdot (40320)}$

$C_{10,2} = \frac{3628800}{80640} = 45$

Com 10 bolinhas distintas colocando duas em cada saquinho, é possível fazer 45 combinações.