Adição e subtração de frações

Existem situações cotidianas que, se afastadas do conhecimento matemático, nos parecem impossíveis, irreais. Porém, quando nos vestimos com a camisa da mais antiga das ciências (matemática) parece nos clarear o horizonte nebuloso visualizado outrora.

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Ao representarmos um número inteiro utilizamos o conjunto dos números inteiros (Z), ou seja, Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}. Neste trabalho estudaremos a adição e subtração de partes do inteiro: as frações. O cálculo da soma ou subtração entre frações é possível da mesma forma como é possível realizarmos a soma entre números inteiros.

Adicionando frações com denominadores iguais

Antes de prosseguirmos com a adição (soma) e a subtração de frações, vamos verificar cada parte que as compõe, para obtermos clareza no cálculo e reconhecermos, sem dificuldades, as suas nomenclaturas.

adicao subtracao fracoes1

Para calcular a soma entre duas frações com denominadores iguais, conservamos um denominador e somamos os numeradores.

Exemplo 1

Adicione as frações \frac{2}{5} e \frac{1}{5} entre si.

Solução algébrica

\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1+2}{5} → conserva o denominador

= \frac{3}{5} → fração soma

Solução geométrica

 → \frac{2}{5}

 → \frac{1}{5}

 → \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}

Para calcular a subtração entre duas frações com denominadores iguais, conservamos um denominador e subtraímos os numeradores.

Exemplo 2

Determine \frac{5}{7} - \frac{3}{7}.

Solução algébrica

\frac{5}{7} - \frac{3}{7} = \frac{5-3}{7} → conserva o denominador

= \frac{2}{7} → fração diferença

Solução geométrica

 → \frac{5}{7}

 → \frac{3}{7}

 → \frac{5}{7} - \frac{3}{7} = \frac{2}{7}

Adição de frações com denominadores diferentes

Para calcular a soma entre duas frações com denominadores diferentes, deve-se encontrar frações equivalentes às frações iniciais, porém com o mesmo denominador, e somar os numeradores.

Exemplo 3

Adriana viajou para a praia. Durante a primeira hora de viagem, ela percorreu \frac{1}{3} do caminho e, na segunda hora, mais \frac{2}{5}. Que fração do percurso total Adriana já percorreu?

mmc 3 e 5Solução

Vamos encontrar frações equivalentes as dadas no problema encontrando o M.M.C. entre 3 e 5.

adicao subtracao fracoes8

 

\frac{5+6}{15} → conserva um denominador e soma os numeradores

\frac{11}{15} → fração soma

Após achar o Menor Múltiplo Comum (M.M.C.) entre os denominadores 3 e 5, dividimos o M.M.C. encontrado pelo denominador da fração inicial e multiplicamos o resultado pelo numerador, também da fração inicial. O resultado é o numerador da fração equivalente. Repetimos esse procedimento para todas as frações do problema em questão.

OBSERVAÇÃO: da mesma forma que na adição de frações com denominadores diferentes, para calcular a subtração entre duas frações com denominadores diferentes, deve-se encontrar frações equivalentes às frações iniciais, porém com o mesmo denominador, e subtrair os numeradores. Se tomássemos como exemplo o exemplo anterior, encontraríamos, da mesma forma, o M.M.C. dos denominadores 3 e 5, que daria 15, dividiríamos 15 pelo denominador e multiplicaríamos o resultado pelo numerador de cada fração inicial, a fim de encontrarmos as frações equivalentes a elas. Em seguida, conservaríamos um denominador e subtrairíamos os numeradores das duas frações.

“Não há começo que não leve a um fim, nem um fim que não leve a um novo começo”.
(Robison Sá)

Referência bibliográfica:
PROJETO ARARIBÁ: matemática, v. 1. – 3. ed. – São Paulo: Moderna, 2010.

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