Análise combinatória

Podemos determinar a análise combinatória como sendo um conjunto de possibilidade constituído por elementos finitos, a mesma baseia-se em critérios que possibilitam a contagem. Realizamos o seu estudo na lógica matemática, analisando possibilidades e combinações. Acompanhe o exemplo a seguir, para poder compreender melhor o que vêm a ser a análise combinatória.

Exemplo: Descubra quantos números com 3 algarismos conseguimos formar com o conjunto numérico {1, 2, 3}.

Conjunto de elementos finito: {1, 2, 3}

Conjunto de possibilidades de números com 3 algarismos: {123, 132, 213, 231, 312, 321}

Resposta Final: Com o conjunto numérico {1, 2, 3}, é possível formar 6 números.

A análise combinatória estuda os seguintes conteúdos:

Confira a seguir uma definição resumida de cada tópico estudo pela análise combinatória.

Princípio fundamenta da contagem

Determina o número total de possibilidade de um evento ocorrer, pelo produto de m x n. Sendo n e m resultados distintos de um evento experimental.

Exemplo: Jeniffer precisa comprar uma saia, a loja em que está possui 3 modelos de saia diferente nas cores: preto, rosa, azul e amarelo. Quantas opções de escolha Jeniffer possuí.

Para solucionar essa questão utilizamos o principio fundamental da contagem.

m = 3 (Modelos diferentes de saia), n = 4 (Cores que a saia possui)

m x n = 3 x 4 = 12

Jeniffer possui 12 possibilidades de escolha.

Fatorial

O fatorial de um número qualquer, e representado pelo produto:

n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!

Exemplo: Calcule 4!

n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!
4! = 4 . (4 – 1) . (4 – 2) . (4 – 3)
4! = 4 . 3. 2 . 1
4! = 24

Permutação simples

Na permutação os elementos que compõem o agrupamento mudam de ordem, ou seja, de posição. Determinamos a quantidade possível de permutação dos elementos de um conjunto, com a seguinte expressão:

Pn = n!
Pn = n . (n-1) . (n-2) . (n-3).....1!

Exemplo: Em uma eleição para representante de sala de aula, 3 alunos candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. Quais são os possíveis resultados dessa eleição?

Vanessa (V), Caio (C), Flávia (F)

Os possíveis resultados dessa eleição podem ser dados com uma permutação simples, acompanhe:

n = 3 (Quantidade de candidatos concorrendo a representante)

Pn = n!

Pn = 3 . 2 . 1!
Pn = 6

Para a eleição de representante, temos 6 possibilidades de resultado, em relação a posição dos candidatos, ou seja, 1º, 2º e 3º lugar. Veja a seguir os possíveis resultados dessa eleição.

Resultado 1 Resultado 2 Resultado 3 Resultado 4 Resultado 5 Resultado 6
VCF VFC CVF CFV FCV FVC

Permutação com repetição

Nessa permutação alguns elementos que compõem o evento experimental são repetidos, quando isso ocorrer devemos aplicar a seguinte fórmula:

P_n (n_1, n_2, n_3 \ldots n_k) = \frac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{3}! \ldots n_{k}!}
  • P_n (n_1, n_2, n_3 \ldots n_k) = permutação com repetição
  • {n!} = total de elemetos do evento
  • {n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot n_{3}! \ldots n_{k}!} = Elementos repetidos do evento

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra CASA.

A palavra CASA possui: 4 letras (n) e duas vogais que se repetem (n1).

  • n! = 4!
  • n1! = 2!

P_{n}(n_1) = \frac{n!}{n_{1}!}

P_{n}(n_1) = \frac{4!}{2!}

P_{n}(n_1) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1!}{2 \cdot 1!}

P_{n}(n_1) = \frac{24}{2} = 12

Anagramas da palavra CASA sem repetição
CASA ACSA ASCA ASAC SCAA CSAA
AASC AACS CAAS SAAC SACA ACAS

Arranjo simples

No arranjo simples a localização de cada elemento do conjunto forma diferentes agrupamentos, devemos levar em consideração, a ordem de posição do elemento e sua natureza, além disso, devemos saber que ao mudar os elementos de posição isso causa diferenciação entre os agrupamentos.

Para saber a quantidade de arranjos possíveis em p agrupamento com n elementos, devemos utilizar a fórmula a seguir:

A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}

  • A = Arranjo
  • n = elementos
  • p = Agrupamentos

No arranjo a quantidade de agrupamento p, sempre deve ser menor que n, ou seja:

p \leq n

Exemplo: Flávia, Maria, Gustavo e Pedro estão participando de uma competição. Para competir precisam fazer agrupamento com apenas 3 participantes. Quais são os agrupamentos possíveis?

  • Quantidade de participantes da competição: n = 4
  • Quantidade de agrupamentos com apenas 3 participantes: p = 3

A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}

A_{4,3} = \frac{4!}{(4-3)!}

A_{4,3} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1!}{1!}

A_{4,3} = \frac{24}{1} = 24

É possível organizar 24 agrupamento para com três participantes em cada.

Combinação simples

Na combinação simples, em um agrupamento mudamos somente a ordem dos elementos distintos. Para que isso seja feito podemos recorrer à utilização da fórmula:

C_{n,p} = \frac{n!}{p! \cdot (n-p)!}

  • C = Combinação
  • n = Elementos.
  • p = Agrupamento

Sendo sempre: p \leq n

Exemplo: De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos

  • Total de bolinhas: n = 10
  • Quantidade de bolinhas por saquinho: p = 2

C_{n,p} = \frac{n!}{p! \cdot (n-p)!}

C_{10,2} = \frac{10!}{2! \cdot (10-2)!}

C_{10,2} = \frac{3628800}{2 \cdot (8)!}

C_{10,2} = \frac{3628800}{2 \cdot (40320)}

C_{10,2} = \frac{3628800}{80640} = 45

Com 10 bolinhas distintas colocando duas em cada saquinho, é possível fazer 45 combinações.

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