Antilogaritmos

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O antilogaritmo é uma propriedade ligara ao estudo dos logaritmos. A sua utilidade é pouco notória, mas nos dá auxílio para resolver determinados exercícios. Podemos até dizer que o antilogaritmo é o inverso do logaritmo, mas não podemos confundi-lo com o cologaritmo.

Sabemos que, pela definição de logaritmo, sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.

log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b

Com a > 0, a \neq 1 e b > 0.

Dizemos que a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Por sua vez, a definição de antilogaritmo é:

Sendo a e b números reais positivos (a > 0, a \neq 1 e b > 0), se o logaritmo de b na base a é c, então b é o antilogaritmo de c na base a. Assim:

log_a b = c \Leftrightarrow antilog_a c = b

Podemos fazer a seguinte correspondência:

antilog_a c = b \Leftrightarrow a^c = b

Observe que o Antilogaritmo nada mais é que o logaritmando.

Exemplo:

1. Qual o antilog_3 2?

antilog_3 2 = x

3^2 = x

x = 9

Assim, o antilog_3 2 = 9 pois log_3 9 = 2.

2. Calcule o valor da expressão antilog_3 \left( log_{\frac{1}{2}} 16\right).

Vamos calcular, primeiro o valor de \left( log_{\frac{1}{2}} 16\right).

log_{\frac{1}{2}} 16 = x

\left(\frac{1}{2}\right)^x = 16

(2^{-1})^x = 16

2^{-x} = 2^4

-x = 4

x = -4

antilog_3 \left( log_{\frac{1}{2}} 16\right) = antilog_3 (-4)

antilog_3 (-4) = k

3^{-4} = k

k = \left(\frac{1}{3}\right)^4

k = \frac{1}{81}

Assim, antilog_3 \left( log_{\frac{1}{2}} 16\right) = \frac{1}{81}.

Referência:

DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Logaritmos. Vol. 2. São Paulo: Atual, 1997.

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