Cologaritmo

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O cologaritmo é um termo utilizado para auxiliar cálculos envolvendo logaritmos. Para compreender, vamos relembrar alguns conceitos importantes dos logaritmos.

Definição de Logaritmo

Sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.

Com , e .

Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Propriedades dos Logaritmos

 

1. Logaritmo do produto

O logaritmo do produto de dois fatores "a" e "b", em qualquer base "c", é igual à soma dos logaritmos de cada um desses fatores.

Se c > 0 e , a > 0, b > 0, então:

Exemplo:

2. Logaritmo do quociente

O logaritmo do quociente de dois fatores a e b, em qualquer base c, é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses fatores.

Se c > 0 e , a > 0, b > 0, então:

Exemplo:

3. Logaritmo da potência

O logaritmo de uma potência, em qualquer base c, é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência.

Se a > 0 e , b > 0, , então:

Exemplo:

4. Logaritmo de uma raiz

O logaritmo da raiz enésima de um número real positivo é o produto entre o inverso do índice da raiz pelo logaritmo cujo o logaritmando é o radicando:

Se a > 0 e , b > 0, , então:

Exemplo:

Definição de Cologaritmo

Chamamos de cologaritmo de um número b na base a, o oposto do logaritmo de b na base a. Assim, se , e , então:

Podemos fazer a seguinte expansão:

Assim, o cologaritmo de um número é o logaritmo do seu inverso, na mesma base.

Exemplos:

Exercícios

1) Calcule o

Lembrando que quando omitimos o valor da base, estamos trabalhando com a base decimal (10).

Resolvendo:

2) Calcule o

3) Calcule o

(quando resolvemos desse modo basta lembrar de trocar o sinal do resultado)

Referência:

DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Logaritmos. Vol. 2. São Paulo: Atual, 1997.

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