Binômio de Newton

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

Número Binomial

Um número binomial, denotado como {n \choose p}, com n e p naturais e n \geq p é definido como:

{n \choose p} = \frac{n!}{(n-p)! \cdot p!}

Lemos {n \choose p} como “n classe p” ou “binomial de n sobre p”. O símbolo “!” é chamado Fatorial.

Assim como nas frações, n é o numerador e p é o denominador.

Binomiais complementares

Dois números binomiais são ditos complementares quando possuem o mesmo numerador e a soma de seus denominadores é igual ao numerador, ou seja, {n \choose p} e {n \choose q} são complementares se, e somente se, p+q =n.

Quando os denominadores são iguais, os binomiais também são complementares.

Exemplo: {5 \choose 3} e {5 \choose 2} são complementares, pois os numeradores são iguais a 5 e 3 + 2 = 5.

Relação de Stiffel

A relação de Stiffel diz que a soma de dois números binomiais com o mesmo numerador e denominadores consecutivos é igual ao número binomial com uma unidade a mais no numerador e com denominador igual ao maior dos denominadores daqueles binomiais, ou seja:

{n \choose p} + {n \choose {p+1}} = {{n+1} \choose {p+1}}

Triângulo de Pascal

Os números binomiais podem ser organizados em uma tabela, de modo que um número binomial {n \choose p} ocupe a linha n e a coluna p formando, assim, o Triângulo de Pascal.

{0 \choose 0}
{1 \choose 0} {1 \choose 1}
{2 \choose 0} {2 \choose 1} {2 \choose 2}
{3 \choose 0} {3 \choose 1} {3 \choose 2} {3 \choose 3}
{4 \choose 0} {4 \choose 1} {4 \choose 2} {3 \choose 2} {4 \choose 4}
\vdots \vdots \vdots \vdots \vdots \ddots
{n \choose 0} {n \choose 1} {n \choose 2} {n \choose 3} {n \choose 4} ... {n \choose n}

Cada um dos elementos da coluna 0 é da forma {n \choose 0} ou seja, é igual a 1. O último elemento da última linha é da forma {n \choose n}, ou seja, também é igual a 1. Ao somarmos dois binomiais consecutivos de uma determinada linha usando a Relação de Stiffel, obtemos o binomial localizado imediatamente abaixo do segundo binomial. Por exemplo, {3 \choose 2} + {3 \choose 3} = {4 \choose 3}.

Desse modo, podemos montar um Triângulo de Pascal utilizando essas regras, com o valor de cada binômio já calculado. Assim, teremos:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Teorema das Linhas

A soma dos elementos de cada linha de ordem n é igual a 2^n.

Linha 0 1 Soma = 1 = 2^0
Linha 1 1 1 Soma = 2 = 2^1
Linha 2 1 2 1 Soma = 4 = 2^2
Linha 3 1 3 3 1 Soma = 8 = 2^3
Linha 4 1 4 6 4 1 Soma = 16 = 2^4

Teorema das Colunas

A soma dos números binomiais de determinada coluna, desde o primeiro elemento {n \choose n} até um elemento qualquer {{n+p} \choose n} é igual ao número binomial imediatamente abaixo e à direita deste último, ou seja, o número binomial {{n+p+1} \choose {n+1}}.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 4 + 10 + 20 = 35

Teorema das transversais

A soma dos números binomiais de determinada transversal, desde o elemento {n \choose 0} até um elemento qualquer {{n+p} \choose p}, obtemos o número binomial imediatamente abaixo deste último, ou seja, o número binomial {{n+p+1} \choose p}.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

1 + 4 + 10 + 20 = 35

Binômio de Newton

Observe o desenvolvimento dos seguintes produtos notáveis.

(a+b)^0 = \color{red}1 a^0 b^0 = 1

(a+b)^1 = \color{red}1 a^1 b^0 + \color{red}1 a^0 b^1 = a+b

(a+b)^2 = \color{red}1 a^2 b^0 + \color{red}2 a^1 b^1 + \color{red}1 a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a+b)^3 = \color{red}1 a^3 b^0 + \color{red}3 a^2 b^1 + \color{red}3 a^1 b^2 + \color{red}1 a^0 b^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3ab^2 + b^3

Os coeficientes resultantes do desenvolvimento desses binômios, que estão em vermelho, são os números binomiais que aparecem no Triângulo de Pascal.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1

Cada termo do desenvolvimento do produto notável (a+b)^n se associa com o desenvolvimento de um binomial no triângulo de pascal.

Vamos reescrever o desenvolvimento acima usando binomiais, colocando expoentes decrescentes para a e expoentes crescentes para b.

(a+b)^0 = \color{red}{0 \choose 0} a^0 b^0 = 1

(a+b)^1 = \color{red}{1 \choose 0} a^1 b^0 + \color{red}{1 \choose 1} a^0 b^1 = a+b

(a+b)^2 = \color{red}{2 \choose 0} a^2 b^0 + \color{red}{2 \choose 1} a^1 b^1 + \color{red}{2 \choose 2} a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a+b)^3 = \color{red}{3 \choose 0} a^3 b^0 + \color{red}{3 \choose 1} a^2 b^1 + \color{red}{3 \choose 2} a^1 b^2 + \color{red}{3 \choose 3} a^0 b^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3ab^2 + b^3

Generalizando, o desenvolvimento de um produto notável (a+b)^n será:

(a+b)^n = \color{red}{n \choose 0} a^n b^0 + \color{red}{n \choose 1} a^{n-1} b^1 + \color{red}{n \choose 2} a^{n-1} b^2 + ... + \color{red}{n \choose {n-1}} a^1 b^{n-1} + \color{red}{n \choose n} a^0 b^n

Podemos reescrever esta expressão como um somatório:

(a+b)^n = \sum\limits_{p=0}^n {n \choose p}(a^{n-p} \cdot b^p)

Essa expressão é conhecida como Fórmula do Binômio de Newton.

Exemplo: desenvolver (a+b)^2 usando a Fórmula do Binômio de Newton.

(a+b)^2 = {2 \choose 0}(a^{2-0} b^0) + {2 \choose 1}(a^{2-1} b^1) + {2 \choose 2}(a^{2-2} b^2)

(a+b)^2 = 1 \cdot (a^2 \cdot 1) + 2 \cdot (a^1 \cdot b^1) + 1 \cdot (a^0 \cdot b^2)

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Fórmula do Termo Geral

Como visto anteriormente, (a+b)^n = \sum\limits_{p=0}^n {n \choose p}(a^{n-p} \cdot b^p).

Observe que o primeiro termo (T1) será obtido fazendo p = 0.

T_1 = {n \choose 0}(a^{n-0} \cdot b^0)

O segundo termo (T2) será obtido quando p = 1:

T_2 = {n \choose 1}(a^{n-1} \cdot b^1)

Assim, para encontrar o termo enésimo termo, fazemos p = p+1:

T_{p+1} = {n \choose p}(a^{n-p} \cdot b^p)

Exemplo:

Qual o coeficiente de b4no desenvolvimento de (a+b)^5?

p = 4 e n = 5.

T_{4+1} = {5 \choose 5}(a^{5-4} \cdot b^4)

T_5 = \frac{5!}{(5-4)! \cdot 4!} \cdot (a^1 \cdot b^4)

T_5 = \frac{5!}{1! \cdot 4!} \cdot (a^1 \cdot b^4)

T_5 = \frac{5 \cdot 4!}{1! \cdot 4!} \cdot (a^1 \cdot b^4)

T_5 = 5ab^4

Assim, o coeficiente será 5.

Referências:

PAULO, Luiz. Matemática: Binômio de Newton. Vol. 5. São Paulo: Bernoulli.

HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. Combinatória. Probabilidade. Vol. 5. São Paulo: Atual, 1997.

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