Binômio de Newton

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

Número Binomial

Um número binomial, denotado como , com n e p naturais e é definido como:

Lemos como “n classe p” ou “binomial de n sobre p”. O símbolo “!” é chamado Fatorial.

Assim como nas frações, n é o numerador e p é o denominador.

Binomiais complementares

Dois números binomiais são ditos complementares quando possuem o mesmo numerador e a soma de seus denominadores é igual ao numerador, ou seja, e são complementares se, e somente se, .

Quando os denominadores são iguais, os binomiais também são complementares.

Exemplo: e são complementares, pois os numeradores são iguais a 5 e 3 + 2 = 5.

Relação de Stiffel

A relação de Stiffel diz que a soma de dois números binomiais com o mesmo numerador e denominadores consecutivos é igual ao número binomial com uma unidade a mais no numerador e com denominador igual ao maior dos denominadores daqueles binomiais, ou seja:

Triângulo de Pascal

Os números binomiais podem ser organizados em uma tabela, de modo que um número binomial ocupe a linha n e a coluna p formando, assim, o Triângulo de Pascal.

...

Cada um dos elementos da coluna 0 é da forma ou seja, é igual a 1. O último elemento da última linha é da forma , ou seja, também é igual a 1. Ao somarmos dois binomiais consecutivos de uma determinada linha usando a Relação de Stiffel, obtemos o binomial localizado imediatamente abaixo do segundo binomial. Por exemplo, .

Desse modo, podemos montar um Triângulo de Pascal utilizando essas regras, com o valor de cada binômio já calculado. Assim, teremos:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Teorema das Linhas

A soma dos elementos de cada linha de ordem n é igual a .

Linha 0 1 Soma = 1 =
Linha 1 1 1 Soma = 2 =
Linha 2 1 2 1 Soma = 4 =
Linha 3 1 3 3 1 Soma = 8 =
Linha 4 1 4 6 4 1 Soma = 16 =

Teorema das Colunas

A soma dos números binomiais de determinada coluna, desde o primeiro elemento até um elemento qualquer é igual ao número binomial imediatamente abaixo e à direita deste último, ou seja, o número binomial .

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 4 + 10 + 20 = 35

Teorema das transversais

A soma dos números binomiais de determinada transversal, desde o elemento até um elemento qualquer , obtemos o número binomial imediatamente abaixo deste último, ou seja, o número binomial .

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

1 + 4 + 10 + 20 = 35

Binômio de Newton

Observe o desenvolvimento dos seguintes produtos notáveis.

Os coeficientes resultantes do desenvolvimento desses binômios, que estão em vermelho, são os números binomiais que aparecem no Triângulo de Pascal.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1

Cada termo do desenvolvimento do produto notável se associa com o desenvolvimento de um binomial no triângulo de pascal.

Vamos reescrever o desenvolvimento acima usando binomiais, colocando expoentes decrescentes para a e expoentes crescentes para b.

Generalizando, o desenvolvimento de um produto notável será:

Podemos reescrever esta expressão como um somatório:

Essa expressão é conhecida como Fórmula do Binômio de Newton.

Exemplo: desenvolver usando a Fórmula do Binômio de Newton.

Fórmula do Termo Geral

Como visto anteriormente, .

Observe que o primeiro termo (T1) será obtido fazendo p = 0.

O segundo termo (T2) será obtido quando p = 1:

Assim, para encontrar o termo enésimo termo, fazemos p = p+1:

Exemplo:

Qual o coeficiente de b4no desenvolvimento de ?

p = 4 e n = 5.

Assim, o coeficiente será 5.

Referências:

PAULO, Luiz. Matemática: Binômio de Newton. Vol. 5. São Paulo: Bernoulli.

HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. Combinatória. Probabilidade. Vol. 5. São Paulo: Atual, 1997.

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