Triângulo de Pascal

O Triângulo de Pascal muito utilizado em Análise Combinatória, recebe esse nome devido ao matemático Blaise Pascal (1623-1662). Embora os chineses já o conhecessem a mais de 500 anos antes de Pascal, foi ele quem descobriu a maioria de suas propriedades.

Uma das formas (a mais usual) de construir um triângulo de Pascal é na forma de um triângulo isósceles, preenchemos com 1´s os lados do triângulo  a partir do vértice superior e para obter os  números  em cada linha,  somamos os dois números logo acima dele na linha superior, por exemplo: 2=1+1, ou seja, o número 2 da terceira linha é igual à soma de 1+1, os dois números logo acima dele na segunda linha, assim 3=1+2,  6=3+3, 10=4+6,etc. A figura abaixo mostra o triângulo de Pascal até a sexta linha:

triangulo pascalAs propriedades interessantes do triâgulo de Pascal são as seguintes:

Cada linha representa os números binomiais na expansão de (x+y)n, n≥0. Por exemplo,

(x+y)3=1.x3 + 3x2y + 3xy2 + 1.y3 e na quarta linha temos 1 3 3 1.

Ocorre que sabemos pelo  Binômio de Newton que cada número do triângulo de Pascal será um coeficiente binomial, ou seja, na (n+1)-ésima linha o (k+1)-ésimo número será:

{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Por exemplo, na 5ª linha o terceiro número é:

{4 \choose 2} = 6

Pela construção do triângulo de Pascal, temos:

{n \choose k} = {{n-1} \choose {k-1}} + {{n-1} \choose {k}}

Relação de Stiffel

Por exemplo, 10=4+6, ou seja:

{5 \choose 2} = {4 \choose 1}+{4 \choose 2}

A soma de todos os números na (n+1)-ésima linha é igual a 2n. Por exemplo, na 1ª linha a soma é 20=1, na 4ª linha  23=8, etc.

O triângulo de Pascal é simétrico em relação a sua  altura pois

{n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)! k!} = {n \choose {n-k}}

Se somarmos a diagonal também temos o seguinte resultado:

{k \choose k} + {{k+1} \choose k} + ... + {n \choose k} = {{n+1}\choose {k+1}}

Por exemplo, na 3ª diagonal: 1+3+6+10=20, ou

{2 \choose 2} + {3 \choose 2} + {4 \choose 2} + {5 \choose 2} = {6 \choose 3}

Bibliografia:

História da Matemática, Carlo, B. Boyer

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