Triângulo de Pascal

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

Para melhor entendimento a respeito das propriedades do Triângulo de Pascal, vamos apresentar o conceito de combinação e coeficientes binomiais.

Imagine o seguinte cenário: Estamos organizando um campeonato de xadrez com 12 participantes. De quantas maneiras possíveis podemos criar as duplas para disputar a primeira partida? Este problema pode ser solucionado calculando a combinação de 12 jogadores organizados de 2 em 2. Que nos traz:

Temos então 66 formas diferentes de organizar as duplas a partir dos 12 primeiros participantes. Há uma outra notação para a operação de combinação, ou coeficiente binomial, que é dada por:

O triângulo de Pascal (que na Itália é chamado de triângulo de Tartaglia e na China, triangulo de Yang Hui) é uma construção de números infinitos formado por números binomiais onde n representa o número da linha e k o número da coluna que ele está. Lembrando que . Temos então:

Se desenvolvermos todos os coeficientes binomiais acima obtemos um triângulo composto pelos seguintes números:

Propriedades interessantes

O triângulo de Pascal possui diversas relações curiosas entre aos seus elementos. Vejamos algumas:

P1) Cada número do triângulo de Pascal é a soma dos dois números acima:

Esta propriedade também é chamada de Relação de Stifel, que formalmente pode ser escrita como:

P2) A soma de cada linha nos traz em ordem todas as potências de 2:

P3) Se escrevermos em ordem cada linha do triângulo de Pascal como se fossem um número único temos todas as potências de 11:

P4) O triângulo de Pascal possui uma simetria entre os seus elementos que nos garante a seguinte igualdade:

Aplicações - expressão binomial

Os números da forma aparecem como coeficientes no desenvolvimento de expressões binomiais e quando for um número inteiro positivo, dizemos que:

Exemplos:

Note os coeficientes obtidos nas expressões binomiais acima. Se reescrevê-los na forma de um triângulo obtemos o triângulo de Pascal.

Quando multiplicamos (a+B) n vezes, cada termo será formado de k elementos a e de (n-k) elementos b, onde k=0, 1, 2, 3...n . Então surge a pergunta: Quantos termos da forma existirão: Simplesmente contaremos o número de maneiras possíveis de escolher k dentre os n elementos a, deixando de lado a ordem, ou seja, isso será justamente dado por . Daí obtemos o que é conhecido como o teorema binomial, ou Binômio de Newton:

Referências Bibliográficas

MEYER, Paul L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. São Paulo: Editora Livros Técnico Científicos, 1975.

]ROONEY, Anne. A História da Matemática. São Paulo: Editora M. Books, 2012.

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