Matriz Identidade

Por Maurício P. Marques Fernandes
Seja M uma matriz quadrada de ordem n. A matriz M é chamada de Matriz Identidade de ordem n (indicada por In) quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os elementos restantes são iguais a zero.

Exemplo

Considere a Matriz M2x2, escrita na forma matriz identidade1 . Observando-a, verificamos que ela é uma matriz quadrada, isto é, tem quantidades de linhas e colunas iguais. Também observamos que a sua diagonal principal é composta apenas pelo número 1, enquanto que os demais elementos de M são todos zeros.

Diagonal principal

Diagonal principal

Assim, dizemos que z M2x2 é uma matriz identidade de ordem dois e indicamos I2, isso é, matriz identidade2 é a matriz identidade de ordem 2.

Outras matrizes identidades

  1. matriz identidade 3x3 é a matriz identidade de ordem 3.
  2. matriz identidade 4x4é a matriz identidade de ordem 4.
  3. matriz identidade 5x5 é a matriz identidade de ordem 5.

Portanto quando falamos em matrizes identidades, nos referimos às matrizes quadradas, cujos elementos da diagonal principal é 1 e os demais elementos são todos zeros.

A matriz identidade é o elemento neutro do produto de matrizes, quando este produto existir. Qualquer que seja a matriz quadrada M, tem-se que: M . I = M e I . M = M, como mostram os exemplos à seguir:

matriz identidade3

Utilidade das matrizes identidades

As matrizes identidades são úteis na resolução de equações matriciais. Para isso vamos considerar algumas afirmações sobre equações matriciais.

  1. Indicamos a inversa de uma matriz M por M-1.
  2. O produto de uma matriz pela sua inversa quando ela existir resulta em uma matriz identidade, isto é, M . M-1 = I.
  3. Não se define a divisão entre matrizes.

Assim, vamos resolver o seguinte problema:

Determinar a matriz M em função B na equação  M . A = B em que as matrizes M, A e B são inversíveis.

Como não dividimos matrizes, NÃO podemos  fazer M = B / A, pois não estamos trabalhando com uma equação algébrica, mas matricial. Assim, para resolvermos essa equação precisamos utilizar conceitos matriciais.

Primeiro vamos multiplicar os dois membros da equação pela inversa da Matriz A, pois queremos encontrar a matriz M. Assim temos:

M . A . A-1 = B . A-1

Da afirmação II,  temos que A . A-1 = I, então temos:

M . A . A-1 = B . A-1    →    M . I = B . A-1

Como a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes temos:

M . I = B . A-1 → M = B . A-1

E, portanto a solução do problema dado será:

M = B . A-1

Outra característica utilidade da matriz identidade é sua utilização para a determinação de uma matriz inversa, que decorre das equações matriciais como vimos no problema anterior.

Vimos que à partir da afirmação II, temos:

M . M-1 = I

Seja M a matriz matriz identidade4e M-1 a matriz matriz identidade5, então a equação M . M-1 = I pode ser reescrita como segue:

\left( \begin{array}{cc}4 & -5 \\ 3 & 1 \end{array} \right) \cdot \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Multiplicando as Matrizes, M e M-1, temos:

matriz identidade7

Como temos uma igualdade de matrizes, então temos os sistemas de equações matriz identidade8 cuja solução apresenta matriz identidade9.

Concluímos então que a matriz inversa de M é matriz identidade10.