Matriz Inversa: inversão por matriz adjunta

Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se, e somente se, seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz. Exemplos:

  • A-1 é a representação da matriz inversa de A
  • B-1 é representação da matriz inversa de B

Um método para determinar a matriz inversa é chamado de método de inversão por matriz adjunta. É um método mais longo que o método por sistemas lineares, porém, mais simples, pois não recaem em n sistemas de n equações. A utilização desse método depende do teorema M^{-1} = \frac{1}{det(M)} \cdot \bar{M}, onde:

  • M-1 é a matriz inversa de M.
  • det(M) é o determinante da matriz M
  • M é a matriz adjunta de M.

O método por matriz adjunta é constituído pela seguinte sequência de ações:

  1. Calcular o determinante da Matriz M.
  2. Calcular a matriz C dos cofatores de M.
  3. Determinar a matriz adjunta M
  4. Calcular M^{-1} = \frac{1}{det(M)} \cdot \bar{M}

Antes de tomarmos um exemplo qualquer, devemos observar que só existirá a matriz inversa de M se o seu determinante for diferente de zero, caso contrário teremos uma divisão por zero no passo 4 da sequência anterior, o que não é permitido. Vamos calcular, como exemplo, a inversa, se houver, da matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}. Seguindo a sequência dada, temos:

1. Cálculo do determinante de A:

\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow det(A) = (1 \cdot 0) - (3 \cdot 2) \Rightarrow det(A) = 0-6 \Rightarrow det(A) = -6

 

O determinante de A é diferente de zero, isso significa que existe a matriz inversa A-1. Passamos então para o passo seguinte. 2. Cálculo da matriz C dos cofatores de A. Seja A, a matriz \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}  , então a matriz C dos cofatores de A é C = \begin{pmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} \\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{pmatrix}.

 

Cofator Ai,j do elemento a11 (1):

matriz inversa26 Cofator Ai,j do elemento a12 (3): matriz inversa27 Cofator Ai,j do elemento a21 (2): matriz inversa28 Cofator Ai,j do elemento a22 (0): matriz inversa29 De posse dos valores dos cofatores escrevemos a matriz C dos cofatores: matriz inversa30 3. Cálculo da matriz Adjunta de A.A matriz adjunta A é a transposta da matriz C dos cofatores, isto é: A = Ct Portanto temos: matriz inversa31 4. Cálculo da inversa A-1, pelo teorema matriz inversa32 Substituindo os valores encontrados anteriormente  no teorema temos: matriz inversa33 Multiplicando \frac{-1}{6} pelos elementos da matriz A, obtemos enfim a inversa de A. matriz inversa34

Arquivado em: Matemática