Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se e somente se seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz.
Exemplos:
- A-1 é a representação da matriz inversa de A
- B-1 é representação da matriz inversa de B
Um método para determinar a matriz inversa é chamado de método por sistemas lineares. Esse método parte da definição de que o produto de uma matriz inversível de ordem n pela sua inversa também de ordem n é a matriz identidade In, isto é:
Como exemplo vamos calcular, se houver a matriz inversa de 
.
O primeiro passo é verificar se a matriz admite inversa, isto é se ela é ou não inversível. Para isso calculamos do determinante da A.
Como o determinante da matriz A é det(A) = -5, ele é diferente de zero, portanto a matriz é inversível (ou não singular). Essa informação nos diz que existe a matriz
inversa A-1 de mesma ordem de A. isto é, se a matriz A é 
, então sua inversa será 
, onde as variáveis x, y, z e w serão os elementos da inversa de A.
Pelo método de inversão por sistemas lineares temos que:
Substituindo as matrizes A, A-1 e In na definição acima, temos:
Multiplicando as matriz A e A-1, obtemos:
Com o resultado da multiplicação, obtemos um igualdade de matrizes em que cada elemento das matrizes se correspondem, obtemos assim, dois sistemas de duas equações.
Resolvendo cada um deles temos:
Com o resultado do primeiro sistema já sabemos os valores de x e y.
Resolvendo agora o segundo sistema, temos:
Com o resultado do segundo sistema encontramos os valores de z e w, e portanto já temos os valores da matriz inversa de A.
Consideremos agora a matriz 
e vamos calcular, se houver, sua inversa B-1.
Primeiro vamos verificar se existe a matriz inversa B-1 calculando seu determinante.
Como o resultado do terminante é zero, a matriz é singular ou não inversível, isto é não admite inversa. Vamos, no entanto, prosseguir o cálculo da inversa de B para provar essa afirmação.
Chamando de B-1 a matriz inversa de B, temos 
.
Pelo método de Sistema Linear, temos:
Substituindo as matrizes B e B-1 na equação acima, temos:
Multiplicando as matrizes B e B-1, obtemos a igualdade a seguir:
Da igualdade acima obtemos dois sistemas lineares:
Resolvendo o primeiro sistema, obtemos:
somando as duas equações, obtemos enfim uma incompatibilidade:
Essa incompatibilidade significa que o sistema não possui soluções, isto é, o sistema é impossível de resolver, o que resulta na não existência da matriz inversa B-1.
Esse método é simples, entretanto, muito trabalhoso quando se trata de matrizes de ordem muito grande, pois sempre recaem em n sistemas de n equações, ou seja, se temos uma matriz de ordem 3, teremos que resolver três sistemas de três equações , se a matriz tiver ordem 4, teremos que resolver quatro sistemas de quatro equações, o que torna este método muito trabalhoso. Uma alternativa a esse problema é o método por matriz adjunta.
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/matriz-inversa-inversao-por-sistemas-lineares/