Matriz Inversa: inversão por sistemas lineares

Uma matriz é chamada de inversível ou não singular se e somente se seu determinante é diferente de zero, por isso uma matriz só pode ser inversível se for uma matriz quadrada com determinante diferente de zero e é representada pelo número -1 sobrescrito ao nome da matriz.

Exemplos:

  • A-1 é a representação da matriz inversa de A
  • B-1 é representação da matriz inversa de B

Um método para determinar a matriz inversa é chamado de método por sistemas lineares. Esse método parte da definição de que o produto de uma matriz inversível de ordem n pela sua inversa também de  ordem n é a matriz identidade In, isto é:

matriz inversa1

Como exemplo vamos calcular, se houver a matriz inversa de matriz inversa2.

O primeiro passo é verificar se a matriz admite inversa, isto é se ela é ou não inversível. Para isso calculamos do determinante da A.

\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 0\end{array}\right] \rightarrow det(A) = (1 \times 0) - (3 \times 2) \rightarrow det(A) = 0 - 6 \rightarrow det(A) = -6

Como o determinante da matriz A é det(A) = -5, ele é diferente de zero, portanto a matriz é inversível (ou não singular). Essa informação nos diz que existe a matriz

inversa A-1 de mesma ordem de A. isto é, se a matriz A é matriz inversa4,  então sua inversa será matriz inversa5, onde as variáveis x, y, z e w serão os elementos da inversa de A.

Pelo método de inversão por sistemas lineares temos que:

matriz inversa1

Substituindo as matrizes A, A-1 e In na definição acima, temos:

matriz inversa6

Multiplicando as matriz A e A-1, obtemos:

matriz inversa7

Com o resultado da multiplicação, obtemos um igualdade de matrizes em que cada elemento das matrizes se correspondem, obtemos assim, dois sistemas de duas equações.

matriz inversa8

Resolvendo cada um deles temos:

matriz inversa9

Com o resultado do primeiro sistema já sabemos os valores de x e y.

Resolvendo agora o segundo sistema, temos:

matriz inversa10

Com o resultado do segundo sistema encontramos os valores de z e w, e portanto já temos os valores da matriz inversa de A.

matriz inversa11

Consideremos agora a matriz matriz inversa12 e vamos calcular, se houver, sua inversa B-1.

Primeiro vamos verificar se existe a matriz inversa B-1 calculando seu determinante.

matriz inversa13

Como o resultado do terminante é zero, a matriz é singular ou não inversível, isto é não admite inversa. Vamos, no entanto, prosseguir o cálculo da inversa de B para provar essa afirmação.

Chamando de B-1 a matriz inversa de B, temos matriz inversa14.

Pelo método de Sistema Linear, temos:

matriz inversa15

Substituindo as matrizes B e B-1 na equação acima, temos:

matriz inversa16

Multiplicando as matrizes B e B-1, obtemos a igualdade a seguir:

matriz inversa17

Da igualdade acima obtemos dois sistemas lineares:

matriz inversa18

Resolvendo o primeiro sistema, obtemos:

matriz inversa19

somando as duas equações, obtemos enfim uma incompatibilidade:

matriz inversa20

Essa incompatibilidade significa que o sistema não possui soluções, isto é, o sistema é impossível de resolver, o que resulta na não existência da matriz inversa B-1.

Esse método é simples, entretanto, muito trabalhoso quando se trata de matrizes de ordem muito grande, pois sempre recaem em n sistemas de n equações, ou seja, se temos uma matriz de ordem 3, teremos que resolver três sistemas de três equações , se a matriz tiver ordem 4, teremos que resolver quatro sistemas de quatro equações, o que torna este método muito trabalhoso. Uma alternativa a esse problema é o método por matriz adjunta.

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