Multiplicação de Matrizes

Neste trabalho, abordaremos a multiplicação entre matrizes, as suas particularidades e resolveremos algumas questões como forma de aplicação dos conceitos adquiridos ao longo deste estudo.

Definição

Dadas as matrizes A = (aij), de ordem m x n, e B = (bij), de ordem n x p, podemos obter a matriz produto C = A.B, do tipo m x p. Mas somente será possível encontrar a matriz produto C = (cij) se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

Em termos gerais, temos...

multiplicacao de matrizes1

 

Exemplo 1

Dadas as matrizes A = \left[\begin{array}{lcr}3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right] e B = \left[\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right] é possível encontrarmos a matriz produto a partir da multiplicação de A por B, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Porém, o produto B.A não é possível, visto que o número de colunas de B é diferente do número de linhas de A.

multiplicacao de matrizes2

 

Para montarmos a matriz produto, devemos levar em conta que cada elemento da matriz Cij é obtido pela soma dos produtos de cada elemento da linha i de A pelo elemento correspondente da coluna j de B.

Em termos gerais, temos...

C = A . B = (cij)m x p
cij = ai1b1j + ai2b2j +...+ ainbnj

Isso significa dizer que para obtermos o produto de matrizes é preciso que multipliquemos cada elemento de uma linha pelo correspondente elemento de uma coluna somando os produtos obtidos em seguida.

Exemplo 2

Calcule A = \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -6 & 3\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right].

Resolução:

\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -6 & 3\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}4 & \\ & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a primeira linha pela primeira coluna.}

0 x 1 + 2 x 2 = 4

\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -6 & 3\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}4 & 10 \\ & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a primeira linha pela segunda coluna.}

0 x 3 + 2 x 5 = 10

\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -6 & 3\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}4 & 10 \\ 0 & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a segunda linha pela primeira coluna.}

–6 x 1 + 3 x 2 = 0

\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -6 & 3\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}4 & 10 \\ 0 & -3\end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a segunda linha pela segunda coluna.}

–6 x 3 + 3 x 5 = –3

Solução: \left[\begin{array}{cc}4 & 10 \\ 0 & -3\end{array}\right]

Propriedades da multiplicação de matrizes

  1. Associativa: (Am x n . Bn x p).Cp x r = A.(B.C)
  2. Distributiva: (Am x n + Bn x p).Cp x r = A.C + B.C e Am x n .(Bn x p .Cp x r) = A.B + A.C
  3. Elemento Neutro: Am x n .In = A e Im .Am x n = A, sendo I a matriz identidade.
  4. (k.Am x n).Bn x p = A.(k.B) = k.(A.B), com k ∈ R.
  5. (Am x n .Bn x p)t = Bt .At

Matriz Inversa

Dada a matriz quadrada A = (aij)n x n, dizemos que ela é inversível caso exista uma matriz B = (bij)n x n tal que:

A.B = B.A = In (matriz identidade)
Sendo B a matriz inversa de A, determina-se que B = A-1.

Exemplo 3

Multiplique a matriz A = \left[\begin{array}{cc}3 & 1\\5 & 2\end{array}\right] pela matriz B = \left[\begin{array}{cc}2 & -1\\-5 & 3\end{array}\right]. O que quer dizer esse resultado?

Resolução:

\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}1 & \\ & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a primeira linha pela primeira coluna.}

3 x 2 + 1 x (–5) = 1

\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a primeira linha pela segunda coluna.}

3 x (–1) + 1 x 3 = 0

\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a segunda linha pela primeira coluna.}

5 x 2 + 2 x (–5) = 0

\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a segunda linha pela segunda coluna.}

5 x (–1) + 2 x 3 = 1

Solução: \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = I_{2}. Ao multiplicarmos A.B obtivemos a matriz identidade I2. Portanto, a matriz B é o inverso da matriz A (B = A-1).

“Pegue carona na educação e conheça as maravilhas que o Universo tem a nos oferecer.”

(Robison Sá)

Referências bibliográficas
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática. – 1 ed. – São Paulo: FTD, 2010. – (Coleção novo olhar; v. 2)
YOUSSEF, Antonio Nicolau. Matemática: ensino médio, volume único / Antonio Nicolau Youssef, Elizabeth Soares, Vicente Paz Fernandez. – São Paulo: Scipione, 2005.

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