Multiplicação de Matrizes

Assim como somar ou subtrair matrizes, é possível também multiplicar matrizes. Se você ainda não leu os artigos sobre Matrizes, então leia! Será muito importante para entender melhor este conceito.

Condição Necessária

Antes de multiplicarmos matrizes, é preciso verificar se as mesmas podem ser multiplicadas mediante algumas definições. Então, para que seja possível a multiplicação entre matrizes, suponha que sejam duas, A e B, o número de colunas da matriz A deverá ser igual ao número de linhas da matriz BN. Um exemplo genérico:

$A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times n}$

e

$B={\left\lbrack {b}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{x\times y}$

Note que na matriz $A$ , o número de linhas e de colunas são dados por $m$ e $n$ , respectivamente. Na $B$ , linhas e colunas são dados por $x$ e $y$ , respectivamente. Agora, como citado acima, a multiplicação entre $A$ e $B$ só será possível se:

$n=x$

Ou seja, o número de colunas de $A,\left(n\right),$ é igual ao número de linhas de $B,\left(x\right).$ Consequentemente, o resultado desta multiplicação nos dará uma matriz que terá a dimensão que será igual ao número de linhas de $A$ e o número de colunas de $B$ . Vamos explicar de forma geral: Suponha que a multiplicação de $A$ por $B$ resulte numa matriz que chamaremos de $C$ . Se $A$ e $B$ cumprem o requisito$n=x$ , então:

$A\cdot B={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times n}\cdot {\left\lbrack {b}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{x\times y}={\left\lbrack {c}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times y}=C$

Agora vamos a um exemplo mais simples. Seja:

$A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{2\times 3}$

e

$B={\left\lbrack {b}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{3\times 4}$

Como, o número de colunas de A é igual ao de linhas de B, então é possível a multiplicação, resultando na matriz C:

$A\cdot B={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{2\times 3}\cdot {\left\lbrack {b}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{3\times 4}={\left\lbrack {c}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{2\times 4}=C$

Vale reforçar que se esta condição não for satisfeita, não é possível multiplicar duas matrizes de nenhuma maneira.

Como Multiplicar Matrizes – Um Caso Simples

Vamos começar com um caso mais simples. Sejam duas matrizes A e B onde, A é uma matriz linha e B uma matriz coluna, ou seja:

$A={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{1\times n}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& \dots \end{array}{a}_{1n}\right)$

$B={\left\lbrack {b}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times 1}=\left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\{b}_{21}\\\vdots \\{b}_{m1}\end{array}\right)$

E claro, suponha que a condição $m=n$ é satisfeita neste caso (só assim será possível multiplicá-las). O produto delas resultará num escalar C onde $C={\left\lbrack {c}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{1\times 1}$ . A multiplicação será dada por:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& \dots \end{array}{a}_{1n}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\{b}_{21}\\\vdots \\{b}_{m1}\end{array}\right)$

$A\cdot B={a}_{11}\cdot {b}_{11}+{a}_{12}\cdot {b}_{12}+\dots +{a}_{1n}\cdot {b}_{m1}$

Exemplos:

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right)=1\cdot 3+2\cdot 4=3+8=11$

$\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\5\\-3\end{array}\right)=1\cdot 2+\left(-2\right)\cdot 5+3\cdot \left(-3\right)=2-10-9=-17$

Perceba que, multiplicamos cada elemento da linha de A com o seu respectivo elemento da coluna de B.

Caso Geral da Multiplicação de Matrizes

Vamos com calma agora e apresentar o caso geral da multiplicação de matrizes de um modo formal e logo em seguida exemplos práticos:

$A\cdot B={\left\lbrack {a}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{m\times n}\cdot {\left\lbrack {b}_{\mathit{ij}}\right\rbrack }_{x\times y}={\left\lbrack{c}_{\mathit{ij}}\right\rbrack}_{m\times y}=C$

$\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\{a}_{21}\\\vdots \\{a}_{n1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\{a}_{22}\\\vdots \\{a}_{n2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\\dots \\\ddots \\\cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1m}\\{a}_{2m}\\\vdots \\{a}_{\mathit{nm}}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\{b}_{21}\\\vdots \\{b}_{x1}\end{array}\begin{array}{c}{b}_{12}\\{b}_{22}\\\vdots \\{b}_{x2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\\dots \\\ddots \\\cdots \end{array}\begin{array}{c}{b}_{1y}\\{b}_{2y}\\\vdots \\{b}_{\mathit{xy}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{c}_{11}\\{c}_{21}\\\vdots \\{c}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{c}_{12}\\{c}_{22}\\\vdots \\{c}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\\dots \\\ddots \\\cdots \end{array}\begin{array}{c}{c}_{1y}\\{c}_{2y}\\\vdots \\{c}_{\mathit{my}}\end{array}\right)$

Onde cada ij-ésima entrada ${c}_{\mathit{ij}}$ , da matriz C resultante, é obtida pelo produto das i-ésimas entradas de A e as j-ésimas entradas de B, em outras palavras:

${c}_{11}={a}_{11}\cdot {b}_{11}+{a}_{12}\cdot {b}_{21}+\dots +{a}_{1m}\cdot {b}_{x1}$

${c}_{12}={a}_{11}\cdot {b}_{12}+{a}_{12}\cdot {b}_{22}+\dots +{a}_{1m}\cdot {b}_{x2}$

${c}_{13}={a}_{11}\cdot {b}_{13}+{a}_{12}\cdot {b}_{23}+\dots +{a}_{1m}\cdot {b}_{x3}$

$\vdots$

${c}_{\mathit{my}}={a}_{n1}\cdot {b}_{1y}+{a}_{n2}\cdot {b}_{2y}+\dots +{a}_{\mathit{nm}}\cdot {b}_{\mathit{xy}}$

O que isto significa? Que fizemos nada mais é do que multiplicar cada linha de A com cada coluna de B e posicionamos este resultado na matriz C , de um modo bem similar com que fizemos no caso simples de matrizes linha e coluna quando multiplicadas. Vejamos:

Depois:

Continuando este procedimento para todas as linhas de A e todas as colunas de B , obtemos o produto das duas matrizes. Agora vamos aos exemplos práticos:

Exemplo 1: Sejam as matrizes A e B abaixo,

$A={\left(\begin{array}{cc}1& 2\\3& 4\end{array}\right)}_{2\times 2}$ e $B={\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\4& 5& 6\end{array}\right)}_{2\times 3}$ , então $A\cdot B$ será:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\3& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\4& 5& 6\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1\cdot 1+2\cdot 4& 1\cdot 2+2\cdot 5& 1\cdot 3+2\cdot 6\\3\cdot 1+4\cdot 4& 3\cdot 2+4\cdot 5& 3\cdot 3+4\cdot 6\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}9& 12& 15\\19& 26& 33\end{array}\right)}_{2\times 3}$

Exemplo 2: Para duas matrizes quadradas de ordem 2,

$A={\left(\begin{array}{cc}1& 2\\3& 4\end{array}\right)}_{2\times 2}$ e $B={\left(\begin{array}{cc}5& 6\\7& 8\end{array}\right)}_{2\times 2}$ , temos:

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 5+2\cdot 7& 1\cdot 6+2\cdot 8\\3\cdot 5+4\cdot 7& 3\cdot 6+4\cdot 8\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}19& 22\\43&50\end{array}\right)}_{2\times 2}$

Exemplo 3: Agora, matrizes de ordem 3:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\4& 2& 1\\-1& 1& 0\end{array}\right)$ e $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 5& -3\\1& 6& 1\\4& 2& -2\end{array}\right)$ ;

$A\cdot B=$

$\left(\begin{array}{ccc}1\cdot 0+3\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 4& 1\cdot 5+3\cdot 6+\left(-2\right)\cdot 2& 1\cdot \left(-3\right)+3\cdot 1+\left(-2\right)\cdot \left(-2\right)\\4\cdot 0+2\cdot 1+1\cdot 4& 4\cdot 5+2\cdot 6+1\cdot 2& 4\cdot \left(-3\right)+2\cdot 1+1\cdot \left(-2\right)\\\left(-1\right)\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 4& \left(-1\right)\cdot 5+1\cdot 6+0\cdot 2&\left(-1\right)\cdot \left(-3\right)+1\cdot 1+0\cdot \left(-2\right)\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}-5& 19& 4\\6& 34& -12\\1& 1& 4\end{array}\right)$

Propriedades Importantes

Dados A , B e C matrizes que podem ser multiplicadas entre si, então valem as propriedades:

1 – $\mathit{AB}\ne \mathit{BA}$ , não há comutatividade na multiplicação de matrizes.

2 – $\left(\mathit{AB}\right)C=A\left(\mathit{BC}\right)$

3 – $A\left(B+C\right)=\mathit{AB}+AC$

4 – $\left(A+B\right)C=\mathit{AC}+\mathit{BC}$

5 – $x\left(\mathit{AB}\right)=\left(\mathit{xA}\right)B=A\left(\mathit{xB}\right)$ , onde $x$ é um escalar.

6 – $AI=IA=A$ , onde $I$ é a matriz Identidade.

7 – $A0=0A=0$ , onde é a matriz nula.

Referências bibliográficas:

ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7ª Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.

LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear – 4ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/multiplicacao-de-matrizes/