Multiplicação de Matrizes - Matemática

Neste trabalho, abordaremos a multiplicação entre matrizes, as suas particularidades e resolveremos algumas questões como forma de aplicação dos conceitos adquiridos ao longo deste estudo.

Definição

Dadas as matrizes A = (a_ij), de ordem m x n, e B = (b_ij), de ordem n x p, podemos obter a matriz produto C = A.B, do tipo m x p. Mas somente será possível encontrar a matriz produto C = (c_ij) se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

Em termos gerais, temos...

Exemplo 1

Dadas as matrizes $A = \left[\begin{array}{lcr}3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$ e $B = \left[\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$ é possível encontrarmos a matriz produto a partir da multiplicação de A por B, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Porém, o produto B.A não é possível, visto que o número de colunas de B é diferente do número de linhas de A.

Para montarmos a matriz produto, devemos levar em conta que cada elemento da matriz C_ij é obtido pela soma dos produtos de cada elemento da linha i de A pelo elemento correspondente da coluna j de B.

Em termos gerais, temos...

C = A . B = (c_ij)_{m x p}
c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j +...+ a_inb_nj

Isso significa dizer que para obtermos o produto de matrizes é preciso que multipliquemos cada elemento de uma linha pelo correspondente elemento de uma coluna somando os produtos obtidos em seguida.

Exemplo 2

Calcule $A = \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -6 & 3\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right]$ .

Resolução:

$\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -6 & 3\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}4 & \\ & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a primeira linha pela primeira coluna.}$

0 x 1 + 2 x 2 = 4

$\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -6 & 3\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}4 & 10 \\ & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a primeira linha pela segunda coluna.}$

0 x 3 + 2 x 5 = 10

$\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -6 & 3\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}4 & 10 \\ 0 & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a segunda linha pela primeira coluna.}$

–6 x 1 + 3 x 2 = 0

$\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ -6 & 3\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}4 & 10 \\ 0 & -3\end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a segunda linha pela segunda coluna.}$

–6 x 3 + 3 x 5 = –3

Solução: $\left[\begin{array}{cc}4 & 10 \\ 0 & -3\end{array}\right]$

Propriedades da multiplicação de matrizes

Associativa: (A_{m x n}. B_{n x p}).C_{p x r}= A.(B.C)
Distributiva: (A_{m x n}+ B_{n x p}).C_{p x r} = A.C + B.C e A_{m x n}.(B_{n x p}.C_{p x r}) = A.B + A.C
Elemento Neutro: A_{m x n}.I_n = A e I_m .A_{m x n}= A, sendo I a matriz identidade.
(k.A_{m x n}).B_{n x p}= A.(k.B) = k.(A.B), com k ∈ R.
(A_{m x n}.B_{n x p})^t = B^t .A^t

Matriz Inversa

Dada a matriz quadrada A = (a_ij)_{n x n}, dizemos que ela é inversível caso exista uma matriz B = (b_ij)_{n x n} tal que:

A.B = B.A = I_n (matriz identidade)
Sendo B a matriz inversa de A, determina-se que B = A^-1.

Exemplo 3

Multiplique a matriz $A = \left[\begin{array}{cc}3 & 1\\5 & 2\end{array}\right]$ pela matriz $B = \left[\begin{array}{cc}2 & -1\\-5 & 3\end{array}\right]$ . O que quer dizer esse resultado?

Resolução:

$\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}1 & \\ & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a primeira linha pela primeira coluna.}$

3 x 2 + 1 x (–5) = 1

$\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a primeira linha pela segunda coluna.}$

3 x (–1) + 1 x 3 = 0

$\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & \end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a segunda linha pela primeira coluna.}$

5 x 2 + 2 x (–5) = 0

$\left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \rightarrow \text{Multiplica-se a segunda linha pela segunda coluna.}$

5 x (–1) + 2 x 3 = 1

Solução: $\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = I_{2}$ . Ao multiplicarmos A.B obtivemos a matriz identidade I₂. Portanto, a matriz B é o inverso da matriz A (B = A^-1).

“Pegue carona na educação e conheça as maravilhas que o Universo tem a nos oferecer.”

(Robison Sá)

Referências bibliográficas
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática. – 1 ed. – São Paulo: FTD, 2010. – (Coleção novo olhar; v. 2)
YOUSSEF, Antonio Nicolau. Matemática: ensino médio, volume único / Antonio Nicolau Youssef, Elizabeth Soares, Vicente Paz Fernandez. – São Paulo: Scipione, 2005.