Números Naturais

Por Robison Sá
Introdução

A matemática sempre esteve presente na vida humana e, por que não dizer, também, na dos animais irracionais. Suas contribuições são várias, sendo sempre necessária ao desenvolvimento da humanidade em seus diferentes aspectos. Mas como surgiu a matemática e por quem ela foi inventada? Neste trabalho abordarei diversas considerações sobre o desenvolvimento da matemática, porém mantendo o foco nos Números Naturais e sua importância em tempos remotos e contemporâneos, algumas de suas propriedades e a ideia de valor posicional.

Costumo denominar os Números Naturais de Números Populares. Isso porque nenhum outro conjunto numérico é tão utilizado popularmente quanto os “Naturais”. Sua principal utilidade é, sem dúvida, a de realização de contagens:

“deixe-me ver quantos alunos há nesta sala... um, dois, três... quatorze, quinze. Pronto! Nesta sala há quinze alunos”.

 - Carla, quantos jogadores de futebol estão presentes no campo hoje?

- Aguarde um minuto Patrícia, que vou contar: um... quatro... vinte. São vinte. Ah! Espere! Têm também os goleiros. São vinte e dois ao todo.

Contagens no Passado

Como qualquer área do conhecimento humano, a matemática nasceu da necessidade de povos antigos preocupados em responder os questionamentos sobre os vários enigmas existentes na formação do nosso planeta, em todas as suas criaturas, objetos e natureza em geral. Mas não só por esses motivos a matemática foi criada. Foi também pela necessidade de pastores em manter o controle de seus rebanhos, como mostro no monólogo abaixo:

- Curioso! Muito curioso! Tenho a impressão de que pela manhã esse rebanho era um pouco maior! Será que estou sendo roubado? Ou perdi ovelhas para as fortes chuvas? Ou será que algumas caíram no rio? Tenho que fazer alguma coisa!

Essa sensação de perda dos bens dos quais com tanto trabalho cuidara, fez com que o homem descobrisse a importância de arranjar um modo de se obter controle sobre o seu rebanho. Seria primordial encontrar um meio de registrar a quantidade inicial de ovelhas do rebanho e conferir essa quantidade no final do pastoreio, ou seja, comparar o número inicial com o número final de ovelhas lhes daria, com exatidão, a diferença entre esses dois valores: se o número de chegada fosse igual ao de saída, não haveria perda; caso o número de chegada fosse menor do que o de saída, estaria faltando ovelhas; caso o número de chegada fosse maior do que o de saída, ovelhas de outros rebanhos poderiam ter ingressado naquele.

As soluções encontradas foram várias. Alguns, em algum momento da história, utilizaram os dedos para contagem: cada dedo correspondia a uma ovelha, mas a quantidade de dedos das mãos e dos pés era muito limitada. Por este motivo, passaram a utilizar os cúbitos dos dedos para fazer a contagem, isto é, para cada cúbito corresponderia uma ovelha, mas ainda era muito limitada esta contagem. O homem continuou utilizando partes do corpo até perceber que à medida que o rebanho crescia as partes do corpo eram insuficientes para registrar essas quantidades.

Em meio a esse cenário de necessidades e limitações, surgiu a ideia de realizar a contagem e o registro desses dados utilizando pedras. Para cada ovelha que saia o pastor colocava uma pedra num saco e a cada uma que retornava ele retirava uma pedra. Nesse mesmo campo de ideias, os pastores passaram a utilizar riscos em ossos ou em pedras, as chamadas escritas cuneiformes, até a criação dos sistemas de numeração: maneira complexa e bem elaborada de registrar quantidades agrupando-as, ordenando-as e respeitando o seu valor posicional. Foram tantas as situações de registro de quantidades idealizadas pelos homens, que um pequeno ensaio como este é insuficiente para ilustrar todos os casos, o que se faz aqui são apenas ilustrações pontuais do que ocorreu durante muito tempo para que chegássemos ao sistema moderno de numeração.

O conjunto dos Números Naturais N

O conjunto dos números naturais, inicialmente composto por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... O primeiro povo a fazer a representação do zero, os babilônios, a fizeram há mais de dois milênios antes de Cristo. Hoje, temos este conjunto formado da seguinte maneira: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}. A partir destes elementos podemos formar infinitas quantidades, apenas agrupando-os de maneira que cada um represente determinado valor de acordo com a sua posição.

É importante destacar, que o nosso sistema de numeração é decimal, isto é, a cada dez unidades formaremos uma dezena, a cada dez dezenas formaremos uma centena, a cada dez centenas formaremos um milhar, e assim sucessivamente.

Ancorando-se nos valores posicionais, podemos escrever números astronômicos e saber o que cada um dos seus algarismos de composição representa naquele contexto. Vejamos um exemplo de análise dos valores dos algarismos componentes de certo número.

numeros naturais

Observem detalhadamente, que no número 2568, o algarismo 2 tem valor 2000, o 5 vale 500, o 6 vale 60 e 8 vale 8. Tudo isso se dá de acordo com a posição ocupada por cada um: o 8 ocupa a casa das unidades simples, por isso vale apenas 8 unidades; o 6 ocupa a casa das dezenas, valendo 6 dezenas (6 x 10), 60 unidades; o 5 ocupa a casa das centenas, valendo 5 centenas (5 x 100), 500 unidades; e, por fim, o 2 ocupa a casa das unidades de milhar, valendo 2 milhares (2 x 1000), 2000 unidades.

Uma conclusão imediata deste fato é uma curiosidade que intriga a cabeça dos que com ela se depara. Imagine se alguém lhe perguntasse “quem é maior: 1 ou 3?” Os apressados responderiam “3, é claro”.  Mas até que ponto isso está correto? Bem, a melhor resposta, ou pelos menos a mais cautelosa, seria responder que para saber se 1 é maior ou menor que 3 seriamos obrigados a saber do contexto no qual eles estão inseridos, por exemplo: no número 321, o 3 é maior que o 1, pois enquanto o três representa 3 centenas, o 1 representa apenas uma unidade simples; já no caso do número123, enquanto o 1 representa uma centena, o 3 representa apenas 3 unidades simples, sendo, portanto, 1 maior que 3. Veja a resposta ideal:

- Marcos, quem é maior, o 3 ou o 1?

- Isso depende, Paulo. Antes que eu responda, preciso saber em qual número eles estão inseridos.

Podemos ainda representar um subconjunto dos Números Naturais utilizando a linguagem moderna dos conjuntos. Este seria o conjunto dos Números Naturais Não-Nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}. Neste novo conjunto, apenas omitimos a presença do zero.

Destaco também algumas características do conjunto dos Números Naturais, dentre elas temos: a multiplicação é sempre permitida neste conjunto – toda multiplicação ou adição entre números naturais resulta sempre outro número natural; a divisão nem sempre é permitida dentro deste conjunto – nem toda divisão entre naturais resulta em outro número natural (1/2, 3/5, 5/9 etc.); a subtração nem sempre é permitida em N – nem toda subtração entre naturais resulta em um número natural (1 - 2, 6 - 9, 5 - 8).

Muitas representações já foram feitas dos Números Naturais. Cada povo os representava de acordo com os seus sistemas de escrita, suas interpretações das quantidades e dos recursos disponíveis à época. A forma como escrevemos esses números hoje foi criada na Índia e difundida na Arábia, sendo, por isso, chamados de Números Indo-Arábicos.

Últimas Considerações

Dá pra ver que a matemática sempre esteve, assim como qualquer outra ciência, a favor do homem em suas tomadas de decisões e nas resoluções de problemas. Os artifícios matemáticos que conhecemos hoje, e que achamos tão simples de compreender, foram criados numa época em que as estruturas basilares do conhecimento, que nos levam a profundas interpretações, eram muito escassas, mas nem por isso o homem deixou de criar, de inventar.

Somos uma espécie dotada de tanta sabedoria e inteligência, porém nem mesmo somos capazes de medir essas características estampadas em nós mesmos. O fato é que raciocinamos, refletimos, comparamos e relacionamos. Tudo isso em campos reais ou fictícios, através de um poder de conversão do abstrato a ideias palpáveis, facilmente compreendidas sem muito esforço por leitores secundários.

Através da matemática, e do raciocínio aguçado que o seu estudo nos traz, podemos desenvolver ainda mais as percepções desse mundo de complexidades e realidades ainda pouco exploradas. Podemos nos fortalecer como intelectuais, autoridades naquilo que nos propusermos a defender, proprietários de um vasto conhecimento e compartilhadores dos saberes adquiridos ao longo das várias jornadas acadêmicas.

“Não fosse a minha limitação humana, os números naturais me permitiriam contar todos os ‘pontinhos’ do Universo”. (Robison Sá)