Potenciação de frações

O estudo das frações, em toda a sua amplitude, causa insegurança e muitas dúvidas naquele que está buscando conhecê-las um pouco mais de perto. Certamente esse é um dos tabus da matemática. Porém, acredite, o cálculo com frações não é inatingível. Muito pelo contrário, ele é de fácil compreensão. Para atingi-lo, bastar reunir as informações adquiridas com o estudo de outros conteúdos e utilizá-las, também, nas operações com frações.

Neste trabalho, veremos a grande semelhança entre as potências de números inteiros e das frações. Acompanhe os exemplos e, se preferir, busque outros exercícios nas referências deixadas no final deste trabalho.

Definição de fração

Fração é todo número escrito na forma \frac{a}{b}, com b ≠ 0.

Lembre que o denominador de todas as frações deverá ser sempre diferente de zero, pois do contrário este número não pertenceria aos reais. Dito isto, não mais escreverei esta condição nos exemplos que se seguem, presumindo que ela já ficou claramente detalhada neste pequeno lembrete.

Potenciação de frações

De potência sabemos que an = a.a.a.....a (n vezes). Da mesma forma, \left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a}{b} \times\frac{a}{b} \times\frac{a}{b} \times\frac{a}{b} \times ... \times\frac{a}{b} (n vezes). Ou seja:

potenciacao fracoes

 

Exemplos

1) \left(-\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{(-3)^{2}}{4^{2}} = \frac{(-3) \times (-3)}{4 \times 4} = \frac{9}{16}

2) \left(\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\right)^{3} = \frac{(\sqrt[3]{3})^{3}}{2^{3}} = \frac{\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{3}}{2 \times 2 \times 2} = \frac{\sqrt[3]{27}}{8} = \frac{3}{8}

Quando o expoente é zero ou um

Convencionou-se dizer que:

\left(\frac{1}{2}\right)^{1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1 \left(-\frac{4}{5}\right)^{1} = -\frac{4}{5} \left(-\frac{4}{5}\right)^{0} = 1

I – Todo número real não nulo, seja ele fracionário ou não, elevado a 1 é igual a ele próprio.

II – Todo número real elevado a zero é igual a 1.

Exemplo

3) Qual é o valor de \left(\frac{8}{3} - 2\right)^{1} ?

\left(\frac{8}{3} - 2\right)^{1} \left(\frac{8-6}{3}\right)^{1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1} = \frac{2}{3}

Multiplicando ou dividindo potências de bases iguais

  • Para multiplicar potências de mesma base, conserve a base e some os expoentes.
  • Para dividir potências de mesma base, conserve a base e subtraia os expoentes.

Exemplos

(Para resolver as potências \left(\frac{5}{2}\right)^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}, proceda como nos exemplos anteriores).

4) Determine o produto \left(\frac{5}{2}\right)^{2} \times \left(\frac{5}{2}\right)^{3}.

\left(\frac{5}{2}\right)^{2} \times \left(\frac{5}{2}\right)^{3} = \left(\frac{5}{2}\right)^{2+3} =\left(\frac{5}{2}\right)^{5}

5) Qual é o quociente da divisão \left(\frac{1}{2}\right)^{9} \div \left(\frac{1}{2}\right)^{5} ?

\left(\frac{1}{2}\right)^{9} \div\left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{9-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4}

Potencia de uma potência

  • Na potência de uma potência, conserve a base e multiplique os expoentes.

Exemplo

6) Dada a potência \left(\frac{1}{3}\right)^{3}, determine o seu quadrado.

\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\right]^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3 \times 2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{6} = \frac{1}{729}

Expoentes negativos

Resolva potências de expoentes negativos utilizando a ideia de inverso. Veja o conceito a seguir.

a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^{n} \rightarrow \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}

Exemplos

7) Resolva:

a) \left(\frac{3}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{5}{3}\right)^{4} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}

b) \left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(-\frac{3}{2}\right)^{3} = \frac{(-3)^3}{2^3} = -\frac{27}{8}

Leia também:

“Infinitos são os mistérios da matemática.”
(Robison Sá)

Referências bibliográficas:

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios, 7º ano. – 17. ed. – São Paulo: Saraiva, 2012.
PROJETO ARARIBÁ. Matemática, 8º ano. – 3. ed. – São Paulo: Moderna, 2010.

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