Binômio de Newton

Número Binomial

Um número binomial, denotado como ${n \choose p}$, com n e p naturais e $n \geq p$ é definido como:

${n \choose p} = \frac{n!}{(n-p)! \cdot p!}$

Lemos ${n \choose p}$ como “n classe p” ou “binomial de n sobre p”. O símbolo “!” é chamado Fatorial.

Assim como nas frações, n é o numerador e p é o denominador.

Binomiais complementares

Dois números binomiais são ditos complementares quando possuem o mesmo numerador e a soma de seus denominadores é igual ao numerador, ou seja, ${n \choose p}$ e ${n \choose q}$ são complementares se, e somente se, $p+q =n$.

Quando os denominadores são iguais, os binomiais também são complementares.

Exemplo: ${5 \choose 3}$ e ${5 \choose 2}$ são complementares, pois os numeradores são iguais a 5 e 3 + 2 = 5.

Relação de Stiffel

A relação de Stiffel diz que a soma de dois números binomiais com o mesmo numerador e denominadores consecutivos é igual ao número binomial com uma unidade a mais no numerador e com denominador igual ao maior dos denominadores daqueles binomiais, ou seja:

${n \choose p} + {n \choose {p+1}} = {{n+1} \choose {p+1}}$

Triângulo de Pascal

Os números binomiais podem ser organizados em uma tabela, de modo que um número binomial ${n \choose p}$ ocupe a linha n e a coluna p formando, assim, o Triângulo de Pascal.

Cada um dos elementos da coluna 0 é da forma ${n \choose 0}$ ou seja, é igual a 1. O último elemento da última linha é da forma ${n \choose n}$, ou seja, também é igual a 1. Ao somarmos dois binomiais consecutivos de uma determinada linha usando a Relação de Stiffel, obtemos o binomial localizado imediatamente abaixo do segundo binomial. Por exemplo, ${3 \choose 2} + {3 \choose 3} = {4 \choose 3}$.

Desse modo, podemos montar um Triângulo de Pascal utilizando essas regras, com o valor de cada binômio já calculado. Assim, teremos:

Teorema das Linhas

A soma dos elementos de cada linha de ordem n é igual a $2^n$.

Teorema das Colunas

A soma dos números binomiais de determinada coluna, desde o primeiro elemento ${n \choose n}$ até um elemento qualquer ${{n+p} \choose n}$ é igual ao número binomial imediatamente abaixo e à direita deste último, ou seja, o número binomial ${{n+p+1} \choose {n+1}}$.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 4 + 10 + 20 = 35

Teorema das transversais

A soma dos números binomiais de determinada transversal, desde o elemento ${n \choose 0}$ até um elemento qualquer ${{n+p} \choose p}$, obtemos o número binomial imediatamente abaixo deste último, ou seja, o número binomial ${{n+p+1} \choose p}$.

1 + 4 + 10 + 20 = 35

Binômio de Newton

Observe o desenvolvimento dos seguintes produtos notáveis.

$(a+b)^0 = \color{red}1 a^0 b^0 = 1$

$(a+b)^1 = \color{red}1 a^1 b^0 + \color{red}1 a^0 b^1 = a+b$

$(a+b)^2 = \color{red}1 a^2 b^0 + \color{red}2 a^1 b^1 + \color{red}1 a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a+b)^3 = \color{red}1 a^3 b^0 + \color{red}3 a^2 b^1 + \color{red}3 a^1 b^2 + \color{red}1 a^0 b^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3ab^2 + b^3$

Os coeficientes resultantes do desenvolvimento desses binômios, que estão em vermelho, são os números binomiais que aparecem no Triângulo de Pascal.

Cada termo do desenvolvimento do produto notável $(a+b)^n$ se associa com o desenvolvimento de um binomial no triângulo de pascal.

Vamos reescrever o desenvolvimento acima usando binomiais, colocando expoentes decrescentes para a e expoentes crescentes para b.

$(a+b)^0 = \color{red}{0 \choose 0} a^0 b^0 = 1$

$(a+b)^1 = \color{red}{1 \choose 0} a^1 b^0 + \color{red}{1 \choose 1} a^0 b^1 = a+b$

$(a+b)^2 = \color{red}{2 \choose 0} a^2 b^0 + \color{red}{2 \choose 1} a^1 b^1 + \color{red}{2 \choose 2} a^0 b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a+b)^3 = \color{red}{3 \choose 0} a^3 b^0 + \color{red}{3 \choose 1} a^2 b^1 + \color{red}{3 \choose 2} a^1 b^2 + \color{red}{3 \choose 3} a^0 b^3 = a^3 + 3a^{2}b + 3ab^2 + b^3$

Generalizando, o desenvolvimento de um produto notável $(a+b)^n$ será:

$(a+b)^n = \color{red}{n \choose 0} a^n b^0 + \color{red}{n \choose 1} a^{n-1} b^1 + \color{red}{n \choose 2} a^{n-1} b^2 + ... + \color{red}{n \choose {n-1}} a^1 b^{n-1} + \color{red}{n \choose n} a^0 b^n$

Podemos reescrever esta expressão como um somatório:

$(a+b)^n = \sum\limits_{p=0}^n {n \choose p}(a^{n-p} \cdot b^p)$

Essa expressão é conhecida como Fórmula do Binômio de Newton.

Exemplo: desenvolver $(a+b)^2$ usando a Fórmula do Binômio de Newton.

$(a+b)^2 = {2 \choose 0}(a^{2-0} b^0) + {2 \choose 1}(a^{2-1} b^1) + {2 \choose 2}(a^{2-2} b^2)$

$(a+b)^2 = 1 \cdot (a^2 \cdot 1) + 2 \cdot (a^1 \cdot b^1) + 1 \cdot (a^0 \cdot b^2)$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Fórmula do Termo Geral

Como visto anteriormente, $(a+b)^n = \sum\limits_{p=0}^n {n \choose p}(a^{n-p} \cdot b^p)$.

Observe que o primeiro termo (T₁) será obtido fazendo p = 0.

$T_1 = {n \choose 0}(a^{n-0} \cdot b^0)$

O segundo termo (T₂) será obtido quando p = 1:

$T_2 = {n \choose 1}(a^{n-1} \cdot b^1)$

Assim, para encontrar o termo enésimo termo, fazemos p = p+1:

$T_{p+1} = {n \choose p}(a^{n-p} \cdot b^p)$

Exemplo:

Qual o coeficiente de b⁴no desenvolvimento de $(a+b)^5$?

p = 4 e n = 5.

$T_{4+1} = {5 \choose 4}(a^{5-4} \cdot b^4)$

$T_5 = \frac{5!}{(5-4)! \cdot 4!} \cdot (a^1 \cdot b^4)$

$T_5 = \frac{5!}{1! \cdot 4!} \cdot (a^1 \cdot b^4)$

$T_5 = \frac{5 \cdot 4!}{1! \cdot 4!} \cdot (a^1 \cdot b^4)$

$T_5 = 5ab^4$

Assim, o coeficiente será 5.

Referências:

PAULO, Luiz. Matemática: Binômio de Newton. Vol. 5. São Paulo: Bernoulli.

HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. Combinatória. Probabilidade. Vol. 5. São Paulo: Atual, 1997.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/binomio-de-newton/