Cosseno

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através dessas relações e suas aplicações são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo o cosseno de um ângulo

O cosseno de um ângulo é a razão entre o Cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa. Assim, a relação cosseno depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo $\alpha$:

$cos(\alpha) = \frac{\text{cateto adjacente a }\alpha}{\text{hipotenusa}}$

$cos(\alpha) = \frac{AC}{BC}$

$cos(\alpha) = \frac{b}{a}$

Cosseno dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor do cosseno é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°. Vamos ver as deduções:

cos(60^o):

Considere um triângulo equilátero de lado x.

$cos(60^o) = \frac{x/2}{x} = \frac{x}{2}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

cos(30^o):

$cos(30^o) = \frac{h}{x}$

Como o triângulo é equilátero, a medida da altura será:

$h = \frac{x \sqrt{3}}{2}$

Assim:

$cos(30^o) = \frac{\frac{x \sqrt{3}}{2}}{x} = \frac{x \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Para o cos(45^o) teremos:

$cos(45^o) = \frac{x}{x \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$cos(45^o) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Podemos organizar a seguinte tabela:

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. O cosseno de $\alpha$ mede:

$cos(\alpha) = \frac{8}{10}$

$cos(\alpha) = 0,8$

Função cosseno

Definimos a função cosseno como $f(x) = cos(x)$.

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função cosseno tem imagem [-1,1], ou seja -1 ≤ cos(x) ≤ 1, para todo x real.

O cosseno de um ângulo sempre estará sob o eixo das abscissas (x). Nesse sentido, o cosseno de um ângulo será sempre positivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3º quadrantes.

Gráfico da função cosseno

Vamos ilustrar o gráfico da função cosseno. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

Exemplos:

Calcule a medida de x no seguinte triângulo, sabendo que $cos(30^o) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$cos(30^o) = \frac{x}{10}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{10}$

$2x = 10\sqrt{3}$

$x = \frac{10\sqrt{3}}{2}$

$x = 5\sqrt{3}$

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/trigonometria/cosseno/