Equações irracionais

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

Quando dizemos que uma equação é irracional significa que ao menos uma de suas variáveis estão no radicando. Em outras palavras, as variáveis estão dentro de uma raiz de qualquer índice. A solução de uma equação irracional pode nos dizer se a incógnita em questão será de fato um número irracional ou real.

Vamos relembrar algumas propriedades de radiciação com números, ainda sem incógnitas, onde os números e os índices . Não é necessário decorar estas propriedades, porém elas podem ser de grande ajuda ao solucionar equações irracionais:

Propriedades da radiciação

Agora, vamos dar um exemplo de cada uma destas propriedades quando as incógnitas aparecem no radicando.

Exemplo 1: Vamos encontrar a solução desta equação:

Utilizando a propriedade (2), podemos então elevar ambos os lados da equação pelo mesmo índice da raiz, onde temos:

Pela propriedade (2) a raiz quadrada será eliminada. Então, resolvendo:

Exemplo 2: Equações irracionais podem aparecer na forma de uma equação exponencial, ou seja, a variável encontra-se no índice de uma raiz. Seja a equação . Vamos solucioná-la:

Utilizando a propriedade (5), podemos reescrevê-la como:

Elevando a x os dois membros da igualdade, temos:

Como 36 = 6² podemos dizer que:

Pela propriedade das potências de potências, podemos multiplicar o 2 pelo x que estão elevando o 6, o que nos garante escrever:

Ora, pela igualdade, dizemos que:

Exemplo 3: Agora temos . Para solucioná-la, ainda utilizando a propriedade (2), podemos eliminar a raiz elevando ao quadrado ambos os lados da equação, o que nos traz:

Obtemos uma equação do segundo grau, e resolvendo temos:

Com isso, sabemos que o valor de x na equação pode ser 4 ou – 5.

Exemplo 4: Agora vamos obter a solução de . Podemos elevar ao quadrado os dois membros da igualdade, o que nos resulta em:

Isolando as variáveis temos:

Então:

Elevando mais uma vez os membros ao quadrado chegamos a:

Condição de existência de radicais

Se utilizarmos sempre as propriedades da radiciação, encontrar uma solução de uma equação irracional não se torna uma tarefa difícil. Vale lembrar que o conjunto de solução de uma equação deve ser sempre levado em conta. Como quase sempre a solução de uma equação irracional está contida nos reais então é necessário atentar-se a sua condição de existência. Raízes com índices pares de números negativos não existem nos reais:

para n = 2, 4, 6 ...

Já com índices impares é possível. No caso:

para n = 3, 5, 7...

Referências Bibliográficas

GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.

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