Função bijetora

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

Quando dizemos que uma função é bijetora (também chamada de bijetiva ou bijeção), significa que a função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Vamos relembrar estes conceitos:

Função injetora e sobrejetora

Uma função f é definida como uma relação entre dois conjuntos quaisquer, A e B, e uma regra que permite associar a cada elemento de A um único elemento de B. Isto quer dizer, em linguagem matemática, que:

f : A → B

Lê-se: f de A em B.

Chamamos o conjunto A de Domínio da função e B o Contradomínio. É importante atentar-se à diferença entre função f, que é a própria função, e f(x) que é o valor da função em um determinado ponto x no seu domínio. Sendo assim, podemos dizer que para cada valor de x que pertence ao domínio A, existe um único valor y (ou f(x)) que pertença ao contradomínio B. Usualmente escrevemos:

y = f(x) \leftrightarrow \{x \in A \text{ e } y \in B\}

Podemos representar uma função através de um diagrama, como no exemplo abaixo:

Também temos que uma função é chamada de injetora quando ela obedece estas condições:

(\forall x_1, x_2 \in A) x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)

Lê-se: Para quaisquer x1, x2 pertencentes ao conjunto A onde x1 é diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2).

Uma função (ou aplicação) f : A → B é dita sobrejetora quando, para todo y \in B existe pelo menos um y \in B tal que f(x) = y. Em linguagem matemática escrevemos:

(\forall y) y \in B \Rightarrow \exists x \in A : f(x) = y

Lê-se: Para qualquer y, onde y pertence ao conjunto B, então existe x pertencente ao conjunto A tal que f(x) = y.

Função bijetora

Como dito anteriormente, uma função bijetora é tanto injetora quanto sobrejetora. Logo, as definições de injeção e sobrejeção valem para uma mesma função quando está é chamada de bijetora/bijetiva. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1) Dada a aplicação f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida pela lei f(x) = 3x+1, é bijetora, pois:

→ Dados x_1, x_2 \in \mathbb{R} então vale dizer que:

3x_1 + 1\neq 3x_2 -1 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)

Então f é injetiva.

→ Dado y \in \mathbb{R} então existe x \in \mathbb{R} onde f(x) = y. Provando isto, temos:

3x+1 = y \Rightarrow x = \frac{y-1}{3}

Note que para qualquer valor de y na igualdade acima existirá um valor real x que satisfaz a condição de sobrejeção.

Concluindo, a função f(x) = 3x+1 é bijetora.

Observação:

As funções não podem ser divididas em injetivas e sobrejetivas porque existem diversas aplicações que não são nem uma coisa nem outra. Um caso clássico é a função do tipo f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x) = x^2 , onde ela não é nem sobrejetiva e nem injetiva. Veja:

2 \neq -2, porém f(2) = 4 = f(-2). Logo não é injetiva.

-1 \in \mathbb{R} , mas -1 \notin Im(f) = \mathbb{R}_{+}. Também não é sobrejetiva.

Referências Bibliográficas:

LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.

DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. São Paulo: Editora Atual, 1982.

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