Função bijetora

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

Quando dizemos que uma função é bijetora (também chamada de bijetiva ou bijeção), significa que a função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Vamos relembrar estes conceitos:

Função injetora e sobrejetora

Uma função f é definida como uma relação entre dois conjuntos quaisquer, A e B, e uma regra que permite associar a cada elemento de A um único elemento de B. Isto quer dizer, em linguagem matemática, que:

f : A → B

Lê-se: f de A em B.

Chamamos o conjunto A de Domínio da função e B o Contradomínio. É importante atentar-se à diferença entre função f, que é a própria função, e f(x) que é o valor da função em um determinado ponto x no seu domínio. Sendo assim, podemos dizer que para cada valor de x que pertence ao domínio A, existe um único valor y (ou f(x)) que pertença ao contradomínio B. Usualmente escrevemos:

Podemos representar uma função através de um diagrama, como no exemplo abaixo:

Também temos que uma função é chamada de injetora quando ela obedece estas condições:

Lê-se: Para quaisquer x1, x2 pertencentes ao conjunto A onde x1 é diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2).

Uma função (ou aplicação) f : A → B é dita sobrejetora quando, para todo existe pelo menos um tal que f(x) = y. Em linguagem matemática escrevemos:

Lê-se: Para qualquer y, onde y pertence ao conjunto B, então existe x pertencente ao conjunto A tal que f(x) = y.

Função bijetora

Como dito anteriormente, uma função bijetora é tanto injetora quanto sobrejetora. Logo, as definições de injeção e sobrejeção valem para uma mesma função quando está é chamada de bijetora/bijetiva. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1) Dada a aplicação definida pela lei , é bijetora, pois:

→ Dados então vale dizer que:

Então f é injetiva.

→ Dado então existe onde f(x) = y. Provando isto, temos:

Note que para qualquer valor de y na igualdade acima existirá um valor real x que satisfaz a condição de sobrejeção.

Concluindo, a função f(x) = 3x+1 é bijetora.

Observação:

As funções não podem ser divididas em injetivas e sobrejetivas porque existem diversas aplicações que não são nem uma coisa nem outra. Um caso clássico é a função do tipo definida por , onde ela não é nem sobrejetiva e nem injetiva. Veja:

, porém . Logo não é injetiva.

, mas . Também não é sobrejetiva.

Referências Bibliográficas:

LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.

DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. São Paulo: Editora Atual, 1982.

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