Inequação do primeiro grau

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

Quando estudamos equações do 1º grau lidamos com igualdades, ou seja, expressões em que precisamos encontrar um valor para a variável em questão. Porém, quando tratamos de uma inequação a nossa expressão conterá, ao invés do sinal de igual (=), outros sinais que determinarão uma relação de ordem entre os seus elementos. Geralmente, o conjunto solução de inequações será definido no conjunto dos números Reais. Abaixo as desigualdades e relações de ordem de números Reais:

  • Se , dizemos que x é maior ou igual a y;
  • Se , então x é maior do que y;
  • Se , dizemos que x é diferente de y.

Agora, algumas propriedades a respeito das desigualdades:

  • Reflexiva:
  • Antissimétrica:
  • Transitiva:
  • Compatibilidade com a Adição:
  • Compatibilidade com a Multiplicação:

Exemplo 1) Tomemos agora x, y, z e w, quaisquer números Reais e vamos descobrir se há uma relação de ordem entre eles dados e .

Pela compatibilidade com a adição podemos dizer que:

Agora, pela propriedade transitiva temos:

Concluindo:

Resolvendo equações do primeiro grau

Exemplo 2) Vamos resolver a equação: , inicialmente solucionamos como uma equação do primeiro grau comum, isolando as variáveis conservando a regra de sinais:

Sendo assim, o conjunto solução da equação será:

A solução também pode ser escrita na notação de intervalos reais ou representado na reta real como:

Exemplo 3) Agora, note a solução da equação :

Perceba que neste ponto, ambos os lados da desigualdade estão negativos. Convenientemente, podemos trocar o sinal de ambos os lados da igualdade multiplicando toda a expressão por (-1). Mas, numa desigualdade, quando invertemos o sinal de toda a expressão, também invertemos a desigualdade, o que nos leva a:

Escrevendo então o conjunto solução desta equação nas três possíveis representações temos:

Estudando sinais de inequações

Estudar sinais de inequações permite saber todas as possibilidades para determinar o valor de variáveis em uma expressão. Veja os exemplos abaixo:

Exemplo 4) Vamos estudar o sinal da expressão x-4. Note que esta expressão não está definida em uma igualdade ou desigualdade. Podemos dizer então que existem três possibilidades, são elas:

Escolhendo valores maiores, menores ou iguais a 4, vemos que o seu sinal sofrerá mudanças à medida que variarmos o valor de x. Supondo que escolha um valor de x que seja menor do que 4, por exemplo, 3. Pela expressão teríamos:

Então, para qualquer valor menor do que quatro, o resultado da expressão será sempre um número negativo. Agora um valor maior que 4, pode ser o 5:

Qualquer valor maior do que 4 a expressão resultará sempre em um número positivo. E se o valor de x fosse 4, teríamos o zero:

Por fim, se analisarmos o resultado obtido pelo nosso estudo de sinal na reta real, chegaríamos à seguinte representação:

O que significa que qualquer valor à direita da reta sempre nos retornaria um valor positivo, à esquerda valores negativos e quando x for 4 a expressão será igual a zero.

Exemplo 5) Existem algumas inequações onde, para obtermos uma solução, é necessário estudar o comportamento do sinal. Vamos solucionar a inequação :

Como esta inequação está na forma de uma fração, devemos inicialmente estudar o sinal dos dois termos separadamente assim como fizemos no exemplo 4 e depois comparar as análises com a inequação completa:

Como a nossa inequação originalmente era vemos que após o estudo do sinal, nossa solução não estará entre e 5, pois neste intervalo qualquer valor de x terá valor negativo. Substituindo o valor de x na equação original por temos:

A nossa inequação originalmente dizia quer o valor da expressão deve ser maior do que zero, logo não estará contido no nosso conjunto solução. Vamos agora substituir por 5:

Então, 5 também não estará contido no intervalo do conjunto solução. Por fim, a solução para esta equação será:

Referências Bibliográficas:

LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

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