Limites infinitos

Graduado em Matemática (FMU-SP, 2018)

Limites infinitos, diferente dos limites tendendo ao infinito, são aqueles em que o limite é infinito. Para apresentarmos melhor este conceito, partiremos para assuas definições formais:

Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto que pertence ao intervalo ]𝑎, 𝑏[, contido no domínio de 𝑓. Para qualquer 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0, com 𝑎 + 𝛿 < 𝑏 tal que

𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝜀

O limite L, quando existe, é único e representamos por:

Ou:

Se:

𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝜀

E também:

Se:

𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) < −𝜀

1) Vamos calcular um limite fundamental usando a definição formal de limites tendendo a mais infinito:

Primeiramente, analise o gráfico desta função:

Note que quanto mais 𝑥 se aproxima de zero, maior é o valor de 𝑦, o que nos remete a:

Podemos ainda provar este fato usando a definição:

Dado 𝜀 > 0 e, sendo 𝛿 = 1/𝜀 dizemos que:

Então:

2) Vamos investigar o limite:

Construindo o seu gráfico, temos:

Intuitivamente podemos constatar que:

E o limite quando 𝑥 = 2 simplesmente não existe. Para isso, basta construir uma tabela com uma variação de valores da função.

3) Agora, este limite:

Será sempre infinito em ambas as direções:

4) Este é interessante:

Podemos dizer que:

Por definição:

Então:

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.

ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.

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