Poliedros côncavos e convexos

Licenciatura em Matemática (USP, 2014)

Poliedros são sólidos geométricos cujas superfícies são polígonos planos.

Observe os dois exemplos:

 

Em cada um dos poliedros, foi traçado um segmento de reta cujas extremidades são pontos de faces diferentes. Repare que no Poliedro 1 o segmento \overline{AB} fica na parte de “fora” (não interna) do poliedro. Isso não acontece no Poliedro 2, pois o segmento \overline{CD} ficou na parte de “dentro” (interna).

Considerando que um segmento de reta está contido num poliedro quando está de maneira completa na sua parte interna e/ou na sua superfície, podemos escrever a observação acima da seguinte forma:

O segmento \overline{AB} não está contido no Poliedro 1, enquanto que o segmento \overline{CD} está contido no Poliedro 2.

Um poliedro é convexo se dados quaisquer dois pontos pertencentes a superfície desse poliedro, o segmento que tem esses pontos como extremidades está inteiramente contido no poliedro. Caso exista algum segmento que não satisfaça essa condição, trata-se de um poliedro côncavo.

O Poliedro 1 é côncavo e o Poliedro 2 é convexo.

Observação: O segmento \overline{AB} não estando contido no Poliedro 1 prova que ele é côncavo, mas o segmento \overline{CD} estando contido no Poliedro 2 não prova que ele é convexo, pois para isso precisaríamos provar que TODOS os segmentos do tipo estão contidos. Portanto, a afirmação acima de que o Poliedro 2 é convexo foi dada sem qualquer demonstração, mesmo sendo verdadeira.

Relação de Euler

Observe os poliedros convexos e a tabela resumo de número de vértices, arestas e faces deles em seguida:

Poliedro Nº de faces (F) Nº de Vértices (V) Nº de arestas (A)
Pirâmide pentagonal 6 6 10
Tronco de pirâmide quadrangular 6 8 12
Icosaedro 20 12 30
Cubo 6 8 12
Paralelepípedo retângulo 6 8 12
Tetraedro 4 4 6
Dodecaedro 12 20 30
Pirâmide quadrangular 5 5 8
Tronco da pirâmide pentagonal 7 10 15

Relação de Euler: Se, em um poliedro convexo, V é o número de vértices, F é o número de faces e A é o número de arestas, então vale a relação:

V + F = A + 2

Observação: Todo poliedro convexo obedece à relação de Euler, já os poliedros côncavos podem obedecê-la ou não.

Veja se os dados da tabela satisfazem tal expressão. Você verá que sim!!

Poliedros regulares

Um polígono regular é aquele em que todos os seus lados possuem a mesma medida e todos os ângulos internos são congruentes entre si.

Considerando tal definição, observe a definição de poliedro regular:

Um poliedro é chamado regular se, e somente se:

  • É convexo.
  • Todas as suas faces são formadas por polígonos regulares e congruentes entre si.
  • Todos os vértices formam ângulos congruentes.

Existem 5, e somente 5, tipos de poliedros regulares. São eles:

 

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