Potenciação de frações - Matemática

Quando falamos em potência, devemos lembrar que um número a que está elevado a uma potência n, significa que o número a deverá ser multiplicado n vezes, ou seja:

$a^n=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a \text{ (n vezes)}$

Sendo assim, quando queremos elevar uma fração a uma determinada potência devemos fazer o seguinte:

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot ... \cdot a}{b \cdot b\cdot b\cdot ... \cdot b}$

Existem ainda alguns exemplos importantes que envolvem potências e frações que valem a pena ser revistos:

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\text{, com }m\neq n$

$a^{-1}=\frac{1}{a^n}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-b}=\frac{b^n}{a^n}$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}$

Exemplo 1)

$\left(\frac{3}{2}\right)^4=\frac{3^4}{2^4}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{2\cdot 2 \cdot 2\cdot 2}=\frac{81}{16}$

Exemplo 2)

$\frac{7^8}{7^5}=\frac{7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7}{7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7}=7^{8-5}=7^3=7\cdot 7\cdot 7=343$

Exemplo 3)

$\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}=\frac{2^4}{3^4}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{16}{81}$

Exemplo 4)

$\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3}{2}$

Exemplo 5)

$2^{-5}=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{32}$