Problemas envolvendo Sistemas de Equações do 2º Grau

Se você está familiarizado com equações do 2º grau e com sistemas de equações, então podemos unir os dois conceitos num só, o que nos possibilita a resolução de sistemas de equações do 2º grau. Não é difícil resolver um sistema desta forma, mas vale lembrar que o conhecimento da Fórmula de Bhaskara e o de resolução de sistemas lineares serão importantes. Vamos aos exemplos:

Exemplo 1) A soma de dois números é 6, e o produto entre eles é igual a -16. Determine quais são esses números:

$\begin{cases}x+y=6\\x\cdot y=-16\end{cases}$

Pelo método da substituição, podemos dizer que, a partir da primeira equação:

$x+y=6$

$y=6-x$

E substituindo o valor de y na equação 2, obtemos:

$x\cdot y=-16$

$x\cdot \left(6-x\right)=-16$

$6x-x\mathrm{{^2}}=-16$

$-x\mathrm{{^2}}+6x+16=0$

Resolvendo essa equação do segundo grau:

$\Delta=b\mathrm{{^2}}-4\mathit{ac}$

$\Delta=\left(6\right)\mathrm{{^2}}-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(16\right)$

$\Delta=36+64$

$\Delta=100$

Obtendo as raízes ${x}_{1}$ e ${x}_{2}$:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x=\frac{-\left(6\right)\pm \sqrt{100}}{2\cdot \left(-1\right)}$

$x=\frac{-6\pm 10}{-2}\Rightarrow \begin{cases}{x}_{1}=-2\\{x}_{2}=8\end{cases}$

Substituindo ${x}_{1}$ na segunda equação, temos:

${x}_{1}=-2\Rightarrow {x}_{1}\cdot {y}_{1}=-16$

$\left(-2\right)\cdot {y}_{1}=-16$

${y}_{1}=\frac{16}{2}=8$

E também ${x}_{2}$:

${x}_{2}=8\Rightarrow {x}_{2}\cdot {y}_{2}=-16$

$8{y}_{2}=-16$

${y}_{2}=\frac{-16}{8}=-2$

O conjunto solução dessa equação então será:

$S=\left\lbrace\left({x}_{1},{y}_{1}\right);\left({x}_{2},{y}_{2}\right)\right\rbrace =\left\lbrace\left(-\mathrm{2,8}\right);\left(8,-2\right)\right\rbrace$

Exemplo 2) Num retângulo, a medida de um dos lados é x e do outro y, como a figura abaixo:

Sabe-se que o perímetro desse retângulo vale 64 m e a área é igual a 192 m². Determine os lados x e y desse retângulo.

Para resolver, devemos inicialmente escrever o sistema de equações do problema, que será:

$\begin{cases}2x+2y=64\\x\cdot y=192\end{cases}$

Isolando, na segunda equação, a variável y:

$x\cdot y=192$

$y=\frac{192}{x}$

E reinserindo na primeira equação, obtemos:

$2x+2\left(\frac{192}{x}\right)=64$

$2x+\left(\frac{384}{x}\right)=64$

$2x\mathrm{{^2}}+384=64x$

$2x\mathrm{{^2}}-64x+384=0$

Resolvendo essa equação do segundo grau:

$\Delta=b\mathrm{{^2}}-4\mathit{ac}$

$\Delta=\left(-64\right)\mathrm{{^2}}-4\cdot \left(2\right)\cdot \left(384\right)$

$\Delta=4096-3072$

$\Delta=1024$

Obtendo as raízes ${x}_{1}$e ${x}_{2}$:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x=\frac{-\left(-64\right)\pm \sqrt{1024}}{2\cdot \left(2\right)}$

$x=\frac{64\pm 32}{4}\Rightarrow \begin{cases}{x}_{1}=24\\{x}_{2}=8\end{cases}$

Substituindo ${x}_{1}$ na segunda equação, temos:

${x}_{1}=24\Rightarrow {x}_{1}\cdot {y}_{1}=192$

$24{y}_{1}=192$

${y}_{1}=\frac{192}{24}=48$

E ${x}_{2}$, obtemos:

${x}_{2}=8\Rightarrow {x}_{2}\cdot {y}_{2}=192$

$8{y}_{2}=192$

${y}_{2}=\frac{192}{8}=24$

Agora, para sabermos qual é o conjunto solução exato, devemos nos lembrar das condições dadas pelo exercício. Uma delas é que o perímetro desse retângulo é igual a 64. Substituindo as duas soluções encontradas, obtemos valores diferentes, ou seja:

${2x}_{1}+2{y}_{1}=2\cdot \left(24\right)+2\cdot \left(48\right)=144\ne 64$

${2x}_{2}+2{y}_{2}=2\cdot \left(8\right)+2\cdot \left(24\right)=64$

Então, o conjunto solução dessa equação será:

$S=\left\lbrace\left({x}_{2},{y}_{2}\right)\right\rbrace =\left\lbrace\left(\mathrm{8,}24\right)\right\rbrace$

Referências bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/problemas-envolvendo-sistemas-de-equacoes-do-2o-grau/