Secante

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através das relações trigonométricas e suas aplicações, são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

Definindo a secante de um ângulo

A secante de um ângulo é a razão entre a hipotenusa e o Cateto adjacente a esse ângulo. Assim, a relação secante depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo \alpha:

sec(\alpha) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adjacente a }\alpha}

sec(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}

A secante de um ângulo é o inverso do cosseno desse ângulo, assim:

sec(\alpha) = \frac{1}{cos(\alpha)}

Secante dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da secante é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°.

Como a secante é o inverso do cosseno, basta inverter os valores dos cossenos dos ângulos acima, na tabela.

Tabela do cosseno:

\alpha 30º 45º 60º
cos(\alpha) \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2}

Tabela da secante:

\alpha 30º 45º 60º
sec(\alpha) = \frac{1}{cos(\alpha)} \frac{2\sqrt{3}}{3} \sqrt{2} 2

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A secante de \alpha mede?

sec(\alpha) = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adjacente a }\alpha}

sec(\alpha) = \frac{10}{8} = 1,25

Função Secante

Definimos a função secante como:

f(x) = sec(x), x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função secante tem imagem R -]-1,1[, ou seja sec(x) \leq -1 ou sec(x) \geq 1, para todo x real.

A secante de um ângulo sempre estará sob o eixo das abscissas (x). Nesse sentido, o secante de um ângulo será sempre positivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3º quadrantes.

Gráfico da função secante

Vamos ilustrar o gráfico da função secante. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

x f(x) = sec(x)
0 1
\frac{\pi}{2} \not\exists
\pi -1
\frac{3\pi}{2} \not\exists
2\pi 1

As retas onde a função secante não existe, x = \frac{\pi}{2} + k\pi são chamadas de assíntotas.

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

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