Equação de Bernoulli

Por Glauber Luciano Kítor
Considere um fluído incompressível, irrotacional e não-viscoso escoando através de uma tubulação. Existem três fatores que podem interferir no escoamento do fluído em questão:

1) A pressão que age nas extremidades da tubulação podem ser diferentes uma da outra.
2) Se houver variação na área de secção transversal reta da tubulação acarretará variação na velocidade do fluído.
3) A altura da primeira extremidade pode ser diferente da altura da segunda extremidade.
Observe a figura 01:

Observe a figura 02:


A extremidade 1 encontra-se a altura y1. Uma força F1 é aplicada sobre a área da secção transversal reta da extremidade 1 (entrada) do tubo. Esta pode ser escrita como o produto da pressão p1 com a área A1. O fluído sofre um deslocamento Δx1. A quantidade de massa Δm possui velocidade v1. Na extremidade direita (saída) atua uma força F2 , produto da pressão p2 pela área A2. Esta força pode ser devido ao fluído existente à direita da parte do sistema que está sendo analisado. Ela é contrária à F1.

Nesta extremidade o fluído se movimenta com velocidade v1 através da área A1 de modo que uma quantidade de massa igual a Δm, representada pelo azul escuro, que ocupava o volume V1 delimitado por A1 e Δx1 passe a ocupar o espaço delimitando um volume V2, que é encerrado pela área A2 e o deslocamento Δx2.

O trabalho resultante sobre o sistema pode ser obtido a partir das seguintes considerações:
1) Na entrada o trabalho τ1 é dado por:

τ1 = F1 . Δx1
Ou
τ1 = p1 . A1 . Δx1

2) Na saída a força atua em sentido contrário ao deslocamento. Desta forma, o trabalho τ2 é dado por:

τ2 = - F2 . Δx2
Ou
τ2 = - p2 . A2 . Δx2

Analisando o deslocamento efetivo de massa pode se concluir que o trabalho gravitacional, também contrário a força F1 é dado pelo produto da força gravitacional pelo deslocamento na vertical. Este trabalho é dado por:

τg = -Fg . Δy
Ou
τg = - Δm . g . (y2 – y1)

Nesta situação não serão consideradas a ação das forças conservativas que agem no interior do fluído em questão, pois não comprometem a análise. Em decorrência disso, podemos interpretar a variação da energia potencial como sendo zero. ΔEp = 0.

O trabalho efetivo total realizado pelas ações externas será então:

τext = τ1 + τ2 + τg

A energia cinética do sistema varia conforme a variação da velocidade da massa de fluído em azul escuro, de forma que:

ΔEc = ½ Δm . v22 – ½ Δm . v12

Aplicando o princípio de conservação da energia:

ΔEc + ΔEp = τext (a1)

Com:
ΔEp = 0

Obtém-se:
ΔEc + 0 = τext

Logo:
ΔEc = τ1 + τ2 + τg (a2)

Reescrevendo a equação:
½ Δm . v22 – ½ Δm . v12 = p1 . A1 . Δx1 – p2. A2. Δx2 – Δm . g . (y2 – y1)                        (a3)

Existe um termo semelhante nesta equação que é o volume ocupado pela porção de massa Δm que é:

V1 = A1. Δx1
E
V2 = A2. Δx2

A densidade absoluta ρ da substância é dada por:
ρ = Δm/V

Isolando V e escrevendo-o em função de A1 e Δx1 e A2 e Δx2:
V1 = Δm/ρ
V2 = Δm/ρ

Como
V1 = V2

A equação (a3) pode ser reescrita como
½ Δm . v22 – ½ Δm . v12 = p1 . Δm/ρ – p2 . Δm/ρ – Δm . g . (y2 – y1)                  (a4)

O termo Δm pode ser removido se dividir a equação toda por Δm:

½v22 – ½v12 = p1/ρ – p2/ρ – g . (y2 – y1)             (a5)

É conveniente multiplicar a equação por ρ e então

½ . ρ . v22 – ½.ρ.v12 = p1 - p2 – ρ . g . y2 + ρ . g . y1 (a6)

Reagrupando os termos:

– p1 – ρ . g . y1 – ½ . ρ . v12 = – p2 – ρ . g . y2 – ½ . ρ . v22

Ou
p1 + ρ . g . y1 + ½ . ρ . v12 = + p2 + ρ . g . y2 + ½ . ρ . v22 (a7)

Nota-se que esta equação é uma constante. Então os subscritos 1 e 2 não são relevantes e a equação de Bernoulli pode ser reescrita em sua forma mais geral:

p + ρ.g.y + ½.ρ.v2 = constante            (a8)

Referências bibliográficas:
HALLIDAY, David, RESNIK Robert, KRANE, Denneth S. Física 2, volume 1, 5 Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 384 p.