Grandeza vetorial

Licenciatura em Física (UNESP, 2010)

Publicado em 03/04/2019

Algumas grandezas físicas apenas se representam por um número e uma unidade de medida, sendo suficientes para entender a informação transmitida. Um exemplo é a massa: se é dito que alguém possui 60 kg, já está entendido, não é necessário mais informações para entender a medida que foi feita. Estas são as chamadas grandezas escalares, as quais um número e uma unidade de medida já lhe bastam.

Contudo, existem grandezas físicas que exigem um pouco mais de informações. Tomamos como exemplo o deslocamento: dizer que "um carro está a 30 km" não esclarece o fato, pois surgem perguntas sobre qual seria a exata localização, a qual o carro está distante 30 km, se ele está indo ou voltando deste local, enfim, é necessária uma orientação para esclarecer a medida. Estes tipos de grandezas físicas são as grandezas vetoriais. Elas exigem, além do número e a unidade de medida, de uma orientação, ou seja, direção e sentido.

Um vetor é representado geometricamente por uma seta, cujo início e final são mostrados na figura a seguir.

Desta forma, são definidas, na tabela abaixo, algumas direções e sentidos como exemplos para representar um vetor.

Direção Sentido Vetor
vertical para cima
vertical para baixo
horizontal esquerda
horizontal direita
a 45º da horizontal anti-horário
(nordeste)

O vetor oposto é aquele que possui o sentido contrário a um determinado vetor na mesma direção. Na tabela, o primeiro e o segundo vetor são opostos. O terceiro e o quarto vetor também são.

O vetor nulo é representado por um ponto, pois não há dimensão para este vetor, sendo que seu início coincide com seu fim. Um vetor não nulo possui dimensão (ou módulo). A dimensão é o número que determina a quantidade na grandeza (número 5 no exemplo a seguir). Uma grandeza vetorial, velocidade v, por exemplo, é representada com uma flecha acima da letra v. Observe o exemplo seguinte.

A velocidade de 5 m/s possui dimensão ou módulo igual a 5.

A soma de vetores é feita conforme os passos:

1) colocam-se os vetores a serem somados na ordem: a origem do segundo vetor no final do primeiro, a origem do terceiro vetor no final do segundo, assim por diante;

2) o vetor soma será o vetor que liga a origem do primeiro vetor com o final do último vetor, neste caso, o último é o terceiro.

Quando um dos vetores for oposto na soma, unirá o final do segundo com o final do primeiro, ou início do segundo com o início do primeiro (ver caso 180º na tabela adiante).

Veja na tabela abaixo três tipos de operações comuns com vetores.

Ângulo entre os vetores Operação Vetor Soma
Soma

(3 + 1 = 4)

90º Teorema de Pitágoras

soma² = 3² + 4²
soma² = 9 + 16
soma² = 25
soma = 5

180º subtração (o vetor oposto 1 é negativo)
(3 – 1 = 2)

Quando for um ângulo qualquer (α) entre os vetores a serem somados, utiliza-se a regra do paralelogramo. Nesta regra, colocam-se os vetores na ordem de soma. O vetor que fecha é o vetor soma (diagonal do paralelogramo). Veja a figura e a equação para o caso da soma de dois vetores:

Pela Lei dos Cossenos:

Todo vetor em um plano pode ser representado por suas componentes. Vamos imaginar uma situação para que fique claro este conceito. Suponhamos que uma pessoa, que está no ponto A em uma praça, deseja chegar no ponto C, na mesma praça. Ela pode fazer este caminho pelas laterais da praça ou pela diagonal que une diretamente os dois pontos A e C. Inclusive, está é uma característica importante dos vetores: unir dois pontos de forma direta, pelo menor caminho, sem fazer curvas ou desvios!

Assim, são três os caminhos que poderiam ser feitos, de acordo com a figura, se levarmos em conta apenas os pontos A, B, C e D: o segmento AB mais o segmento BC, o segmento AD mais o segmento DC e, diretamente, o segmento AC.

Quando falamos de componentes de vetores, temos

  • 1) segmento AB (ou DC): componente vertical (no eixo y) do vetor AC.
  • 2) segmento BC (ou AD): componente horizontal (no eixo x) do vetor AC.

Isso ocorre com qualquer vetor em um plano. Se o vetor estiver em um espaço tridimensional, serão três componentes, em x, y e z, no espaço cartesiano. As componentes de um vetor também são chamadas de projeções deste vetor, nos respectivos planos cartesianos.

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