Logaritmo Natural

Quando nos deparamos com logaritmos em grande parte estudamos os logaritmos decimais que são logaritmos cuja base é  representada pelo número 10 - que normalmente oculta-se o mesmo em sua representação. Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é  um número irracional denominado de constante ou número de Euler equivalente a (e=2,71828..). Matematicamente representamos o logaritmo natural por;

Ln(x) = logex

Portanto, algumas conseqüências de sua definição podem ser representadas:

  • Ln 1 = 0
  • Ln e =  1
  • Ln (en) = n

Também podemos listar aqui suas propriedades operacionais importantes.

1. Logaritmo natural de um produto

  • ln (x · y) = ln x + ln y

2. Logaritmo natural de um quociente

  • ln (x/y) = ln x - ln y

3. Logaritmo natural de uma potência

  • ln (xn) = n . ln x

Muitos exercícios referentes a logaritmos naturais podem ser resolvidas a partir de técnicas utilizadas para facilitar a resolução dos mesmos. Vejamos;

Iremos transformar a base “e” para a base decimal (10)

Demonstração

Ln x = logex

Fazendo a mudança de base para a base decimal

Logex= Log10x / log10e

Resolvendo

Logex =Log10x /0,434

“Desmembrando”

Logex= 1 /0,434 . Log10x

Logex = 2,31 Log10x ( Obs: Valor aproximado, uma vez que o valor de” log10e”foi truncado)

Agora vejamos algumas aplicações em exercícios sobre o conceitos descritos acima.

Exemplo 1) Se Log 8=0,90, determine o valor de Ln(8).

Resolução

Ln8= Loge8 = 2,31 log108 = 2,31 x 0,90= 2,1.

Exemplo 2) Se Ln 3=1,1 e Ln 6=1,8. Determinar o valor de Ln 18.

Resolução

Aplicando a regra do produto

Ln 18= Ln(3 . 6)= Ln 3+ Ln6 = 2,9

Nota: Não devemos confundir os termos referentes a logaritmo natural e logaritmo neperiano, muita das vezes ambos são tratados como sinônimos, mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a  um logaritmo na qual sua base é denotada por “a”, onde se segue;

107 . log a (x/107)

a= (1-10-7)10^7 = limn->∞(1-1/n)n= 1/e

107 .log1/e (x/107)

Logo, percebe-se que o logaritmo neperiano refere-se a base ”1/e”.

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