Logaritmo natural

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O logaritmo surgiu em 1614 numa publicação de John Napier, denominada Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. John Napier era escocês, nascido em 1550. Ficou muito famoso na matemática, principalmente com a invenção do logaritmo. É por conta dele que o logaritmo natural também é conhecido como logaritmo neperiano.

A definição de logaritmo diz que sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.

\log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b

Com a > 0, a \neq 1 e b > 0.

Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Definição do logaritmo natural

O logaritmo natural de um número a, a > 0, é o logaritmo desse número a, na base e. Representamos o logaritmo natural por ln. Assim:

\ln a = \log_e a

O número e

O número e é chamado de número de Euler por conta de Leonhard Euler. Ele foi um dos matemáticos mais brilhantes da sua época e posterior. Seu nome ficou ligado para sempre ao número irracional e, cujo valor é aproximadamente 2,71.

Assim, o logaritmo natural de um número, é o logaritmo desse número na base igual a 2,71, ou na base e.

Definições

Assim como no estudo dos logaritmos, podemos estabelecer algumas definições sobre o logaritmo natural:

I) \ln_e = 1

Usando a definição de logaritmo natural, temos que \ln e = \log_e e

Usando a definição de logaritmo, temos: \log_e e = x \Leftrightarrow e^x = e

Pelas propriedades da potenciação, se as bases são iguais, os expoentes também são, assim, x = 1 e \ln e = \log_e e = 1

II) \ln 1 = 0

Usando a definição de logaritmo natural, temos que \ln 1 = \log_e 1

Usando a definição de logaritmo, temos: \log_e 1 = x \Leftrightarrow e^x = 1

Pelas propriedades da potenciação, todo número elevado a potência 0 é igual a 1, assim, x = 1 e \ln 1 = \log_e 1 = 0

III) \ln e^n = n

Usando a definição de logaritmo natural, temos que \ln e^n = \log_e e^n

Uma das propriedades do logaritmo diz que o logaritmo de uma potência é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo cujo logaritmando é a base da potência. Assim, \log_e e^n = n \cdot \log_e e.

Como \log_e e = 1, temos que \log_e e^n = n \cdot \log_e e = n \cdot 1 = n.

Propriedades

As propriedades principais do logaritmo também estão garantidas para o logaritmo natural.

I) Logaritmo natural do produto

O logaritmo natural de um produto é igual à soma dos logaritmos naturais:

\ln (a \cdot b) = \ln a + \ln b

II) Logaritmo natural do quociente

O logaritmo natural de um quociente é igual à diferença dos logaritmos naturais:

\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b

III) Logaritmo natural de uma potência

O logaritmo natural de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo natural da base dessa potência.

\ln a^n = n \cdot \ln a

Mudança de base

Em um logaritmo natural, a base é e. Podemos mudar da base para a base decimal (10). Veja:

\ln a = \log_e a

Mudando para a base 10:

\log_e a = \frac{\log_{10} a}{\log_{10} e}

Como \log_{10} e \approx 0,43, temos:

\log_e a = \frac{\log_{10} a}{0,43} = \frac{1}{0,43} \cdot \log a = 2,3 \cdot \log a

Portanto, podemos realizar uma mudança de base considerando sempre a relação

\ln a = 2,3\cdot \log a

Exemplos

1. Sabendo que log 7 = 0,84, determine ln 7.

\ln a = 2,3 \cdot \log a

\ln 7 = 2,3 \cdot \log 7

Como log 7 = 0,84, então:

\ln 7 = 2,3 \cdot 0,84

\ln 7 = 1,93

2. Dados log e = 0,43 e log 4 = 0,60, calcule o valor de x na equação e^x - 64 = 0.

e^x - 64 = 0

e^x = 64

\log e^x = \log 64

x \log e = \log 4^3

x \log e = 3 \cdot \log 4

x = \frac{3 \cdot \log 4}{\log e}

x = \frac{3 \cdot 0,60}{0,43}

x = 4,18

Referência:

BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. SP: Editora Edgard Blücher Ltda, 2012.

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