Potências

Por Robison Sá

Introdução à história

A ideia de potência é muito antiga e desde tempos remotos suas aplicações facilitaram a vida humana auxiliando, tornando possíveis muitas representações matemáticas e solucionando problemas de elevado grau de complexidade. Assim como todas as descobertas do homem, a equação possibilitou novos horizontes e permitiu a expansão dos conhecimentos humanos norteando viagens inimagináveis pelos campos abstratos da matemática e alicerçando ciências afins como a astronomia, física, química e biologia.

Conceitos antigos dos quais se têm registros datam do século III a.C. através do astrônomo e inventor Arquimedes em sua tentativa de calcular quantos grãos de areia seriam necessários para encher o universo. Nessa época, tinha-se a ideia de que as estrelas limitavam o nosso universo dando-lhe um formato esférico e, ao calcular o volume dessa esfera astronômica, chegaria ao resultado desejado. Após longo estudo e dedicação, Arquimedes conseguiu encontrar um resultado assombrosamente grande em termos de representação numérica e soube que seria impossível demonstrar sua resposta para que outros conseguissem compreendê-la.

Após séria análise detalhada dos números que apareciam no cálculo do volume da esfera gigante, Arquimedes percebeu um fato curioso: havia uma grande repetição de multiplicações que envolviam o número 10. Surgiu então a ideia de representar sua resposta usando potência de base 10. Hoje utilizada como notação científica e aplicada a várias áreas do conhecimento humano, através da potência de base dez, podemos escrever a resposta conquistada por Arquimedes como 1063.

Toda notação moderna que se tem de potência teve fundamento com o Matemático francês René Descartes (1596-1650) no século XVII. Descartes, além de suas contribuições referentes à potenciação é também conhecido como Pai da Filosofia e da Matemática Modernas.

Onde estão as potências?

A resposta à pergunta anterior seria em nosso cotidiano.  Acompanhem alguns exemplos a seguir:

  • Um jogo de xadrez é formado por um tabuleiro tipo 8 x 8 e representa uma matriz quadrada de ordem 8. Podemos calcular o número de casas desse tabuleiro utilizando conhecimentos sobre potência. Para isso, elevamos o número de linhas (8) ao número de colunas (8), ficando 82 = 64.
  • Num sítio, as laranjas extraídas periodicamente, são embaladas em forma cúbica: 4 laranjas no comprimento, 4 na largura e 4 na altura. Se desejarmos saber quantas dessas frutas têm nesses cubos, elevamos ao 4, o número de vezes que ele se repete (3), ficando 43 = 64.

Lembro aos caros leitores que o objetivo do artigo não é apenas mostrar as aplicações das potências em nosso cotidiano, e sim, mostrar-lhes os seus conceitos, propriedades e resoluções, a fim de que abstraiam esses conhecimentos e utilizem-no para tornar suas vidas mais práticas. Quando conseguimos compreender bem um conteúdo, saberemos onde melhor se encaixará a sua aplicação.

Definição e resolução

Potência é todo número na forma an, com a ≠ 0.

a é a base, n é o expoente e an é a potência.

an = a x a x a x a x...a (n vezes)

Por convenção, admitiremos que todo número elevado a 0 é igual a 1, a0 = 1 e todo número elevado a 1 é igual a ele próprio, a1 = a.

Exemplos

21 = 2                          540 = 1                              44 = 256                             53 = 125

Potência de base racional

Para resolver uma potência cuja base é um número fracionário, elevamos tanto o numerador quanto o denominador da fração ao expoente dado.

Exemplo

Potência de expoente negativo

A ideia de inverso é utilizada para solucionar potências de expoente negativo, transformamos numerador em denominador, e vice-versa, logo após, tornamos o expoente positivo.

Exemplos

Multiplicação de potências de mesma base

 

Resolvemos a multiplicação de potências de mesma base conservando uma das bases e adicionando os expoentes.

 

m . an  =  am + n

 

Exemplos

Divisão de potências de mesma base

 

Toda divisão de potências de mesma base, com esta diferente de zero, pode ser resolvida conservando uma das bases e subtraindo os expoentes.

 

am : an = am – n, com a ≠ 0.

 

Exemplos

Multiplicação de fatores elevados ao mesmo expoente

Para o produto de dois ou mais fatores elevados ao mesmo expoente, elevamos cada um dos fatores ao expoente dado na questão.

(a . b)n = an . bn

Exemplos

(5 . 6)4 → 54 . 64                                         (0,2 . 1,3)3 → (0,2)3 . (1,3)3

Divisão de expoente igual

Aqui segue-se o mesmo critério dado na propriedade anterior: eleva-se o dividendo e o divisor ao mesmo expoente.

(a : b)n = an : bn

Exemplos

(9 : 8)5 = 95 : 85                                                 (2,3 : 0,1)2 = (2,3)2 : (0,1)2

Potência de potência

Quando elevamos uma determinada potência à outra potência, temos uma potência de potência. Para resolvê-la, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

(am)n = am . n

Exemplos

(23)4 → 23 . 4 = 212                                             [(1/5)2]5 → (1/5)2 . 5 = (1/5)10

Potência de base 10

A potência de base 10 é utilizada para abreviar a escrita de números que contenham n fatores 10, facilitando assim sua representação.

Exemplos

105 = 100000 (5 zeros)
107 = 10000000 (7 zeros)
103 = 1000 (3 zeros)

Nesse tipo de potência, quanto o expoente for positivo, ele indica a quantidade de zeros que deverão ser acrescentados após o algarismo 1.

10-2 = 0,01 (2 casas decimais)
10-5 = 0,00001 (5 casas decimais)

Aqui, como o expoente é negativo, ele indica o número de casas decimais que deverão ser criadas a partir do zero e com final 1.

Considerações finais

É muito importante e necessário que se conheça sobre os vários tipos de conteúdos que nos ajudam a, cotidianamente, facilitar nossa vida social. Exemplo disso são as potências. Elas nos trazem conforto na hora de calcular, nos ajudam a compreender melhor as ideias de divisão e multiplicação, nos abrem as portas, através de suas propriedades, dos saberes algébricos generalizantes do conhecimento matemático e facilitadores da aplicabilidade dos estudos realizados.

Nenhum conhecimento é tão completo que encerre-se em si mesmo, nem tão pobre que deva ser descartado ao primeiro olhar. Todos os sabres deverão passar por sério processo de análise, processamento mental e arquivamento, pois, com certeza, eles serão utilizados posteriormente à medida que novos desafios forem surgindo em nossas jornadas naturais. Não tenhamos os estudos como fardos que somos obrigados a levar ao longo dos nossos dias, mas sim, como relíquias, que temos que guardar, apreciar e exibir como troféus conquistados nas maratonas do saber educacional. 

“Uma boa educação é aquela que prepara cidadãos críticos e reflexivos sobre os males que assolam a sociedade na qual estão inseridos.”

Robison Sá. 

Leia também:

Referência bibliográfica
SOUZA, JOAMIR ROBERTO DE; PATARO, PATRICIA MORENO. Vontade de saber matemática: 8° ano. São Paulo: FTD, 2009. 288p. (Coleção vontade de saber).