Progressões

Por Gláucio da Silva Freitas
É inevitável falarmos em progressões sem usar o termo sequências numéricas. As sequências estão diretamente ligadas a processos de contagem e o estudo do desenvolvimento dos sistemas de numeração, através dos vários registros de sequências nos principais documentos das civilizações da antiguidade percebemos que o processo matemático é utilizado desde então até os dias atuais sem modificação lógica.

Ilustração: © iStock.com / agsandrew

Ilustração: © iStock.com / agsandrew

A idéia de sequência e sucessão aparece na vida diária em muitas situações, nas quais podemos utilizar processos mais usuais como a progressão aritimética (PA), e progressão geométrica (PG). Exemplos disso, encontram-se, por exemplo, na sequência dos 3 primeiros meses do ano (janeiro, fevereiro, março); a sequência dos anos, a partir de 1988, nos quais são realizadas as olimpiadas (1988, 1992, 1996, 2000, 2004, 2008 ...); a sequência dos dias úteis da semana (segunda, terça, quarta, quinta). Esses exemplos são situações  em que são selecionados elementos de uma sequência, dessa forma, cada elemento  é denominado um termo da sequência ou sucessão, como, por exemplo, na sequência dos dias da semana: 1° termo: Domingo; 2° termo: Segunda, ..., 7° termo: Sábado.

Os termos de uma sequência são expressos geralmente por uma lei de formação, ou seja,  podemos obter um termo qualquer da sequência a partir de uma expressão, que relaciona o termo com sua posição, formando uma expressão  que dá origem ao termo geral de uma sequência.

Dessa maneira, podemos gerar uma expressão na qual a posição do termo geral equivalerá à função do número de termos da sequência. Dentro dessa lógica,  temos dois tipos frequentes em nosso cotidiano que se basea na adição e multiplicação periódicas dos termos.

A progressão aritmética é uma sequência determinada de forma  que, a partir do segundo termo, adiciona-se uma constante k ao termo antecessor. Essa constante é chamada de razão da progressão aritimética, com ela encontramos o termo sucessor. Já a progressão geométrica é uma sequência determinada de forma que, a partir do segundo termo, multiplica-se o anterior por uma constante k, que é a razão da progressão geométrica. De maneira análoga encontra-se o termo sucessor da progressão.

Alguns exemplos de progressões:

Aritméticas

Números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6...); números pares (2,4,6,8,...). Observe que nesses exemplos a razão é igual a 1 e 2 respectivamente.

Geométrica

Sequências (5, 15, 45, 135, ...); (2, 10, 50, 250, ...). Observe agora que na primeira sequência a razão é igual a 3 e o 1° termo é igual a 5, e na segunda a razão é 5 e seu primeiro termo é 2.

As Progressões são sequências numéricas trabalhadas com suas respectivas propriedades. Quando falamos sobre sequências logo podemos relacionar a algum tipo de progressão, aritimética ou geométrica.

Bibliografia:
Matemática. Ensino médio; São Paulo 2008. Editora Scipione. DANTE
Matemática. Ensino médio; São Paulo 1ª Ed. Editora Scipione. Antônio Nicolau Youssef, Elizabeth Soares, Vicente Paz Fernandez.