Sequências Aritméticas

­­­­Introdução

Ao leitor deste trabalho, lembro a importância de se fazer um estudo prévio do meu artigo “Sequências Numéricas”. Nele, além de uma breve exposição dos aspectos históricos, como a contribuição de Augustin-Louis CAUCHY para o desenvolvimento, entre outros, das Séries Infinitas, o leitor poderá vislumbrar um resumo primordial e, por que não dizer pré-requisito para o estudo presente, sendo aquele indispensável a este.

Ainda é salutar lembrar, que à época de Pitágoras os números infinitos ainda eram ocultos, sendo a primazia dos inteiros positivos evidente e motivo de adoração próxima ao divino. Porém, foi nessa mesma época, e paradoxalmente por um de seus discípulos, Hipaso de Metaponto (Hipasus Metapontum), que os números infinitos tiveram a sua descoberta. Hipaso, ao aplicar o Teorema de Pitágoras a um quadrado de lado 1 (um), deparou-se com a raiz quadrada de 2 (dois), sendo este número, incomensurável e não inteiro. Diante desta descoberta, os pitagóricos, vendo o legado adquirido por eles, à sombra dos números inteiros positivos, desmoronar, assassinou Hipaso visando guardar este grande segredo que se revelaria mais tarde. Ali, em terreno grego, sob o reinado dos números inteiros, nasceu a ideia de números infinitos.

Definindo Sequência Aritmética

Entendida a ideia de sequência numérica, onde esta é uma função com domínio no Conjunto dos Números Naturais e contradomínio nos Reais, uma Sequência Aritmética (ou Progressão Aritmética - P.A.) é uma sequência numérica formada, a partir do segundo termo, através da soma do antecessor mais um número fixo denominado razão. Esta definição nos remete a uma necessidade de tradução matemática, que passarei a expor em seguida.

Observem as sequências abaixo:

(2, 5, 8, 11, 14)

  • 5 = 2 + 3
  • 8 = 5 + 3
  • 11 = 8 + 3
  • 14 = 11 + 3

O número 3 representa a razão da sequência aritmética (2, 5, 8, 11, 14). Nela, o segundo termo é formado a partir da soma do primeiro mais a razão; o terceiro, a partir do segundo mais a razão; o quarto, a partir do terceiro mais a razão e o quinto, a partir do quarto mais a razão, o que ilustra a definição por mim exposta anteriormente.

(10, 6, 2, -2, -6)

  • 6 = 10 – 4
  • 2 = 6 4
  • - 2 = 2 – 4
  • - 6 = - 2 – 4

Na sequência (10, 6, 2, -2, -6) o número – 4 representa a sua razão. Desta forma, cada termo a partir do segundo, é formado pela soma de seu antecessor com a razão – 4.

Em todas as sequências numéricas que obedecerem a esta regra (antecessor mais razão forma o termo sucessor) temos uma sequência aritmética.

Veja a representação matemática, em termos gerais, de uma P.A.

(a1, a2, a3, a4,............. an, an + 1, ...)

Sendo assim temos que an + 1 = an + r (n ∈ N*, isto é, para todo n pertencente ao conjunto dos números naturais não nulos)

Das representações anteriores, ainda podemos concluir que:

a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... = an + 1 – an = r

Classificando uma Sequência Aritmética

Podem ser classificadas como crescente, decrescente ou constante.

Crescente: quando a razão é maior que zero (r > 0);

Ex.: (1, 5, 9, 13, 17) → r = 4 > 0

Decrescente: quando a razão é menor que zero (r < 0);

Ex.: (7, 4, 1, -2, -5)  r = - 3 < 0

Constante: quando a razão é igual à zero (r = 0)

Ex.: (3, 3, 3, 3, 3)  r = 0

Termo geral

Usarei aqui uma demonstração comum no meio matemático, mas que talvez o leitor não a tenha visto, pois em muitos casos apenas a escrita do termo geral é mostrada ao aluno.

  • a1 = a1 + 0r
  • a2 = a1 + 1r
  • a3 = a2 + r = a1 + 2r
  • a4 = a3 + r = a1 + 3r
  • ....
  • an = an – 1 + r = a1 + (n – 1) r ® an = a1 + (n – 1) r

Em que: a1 é o primeiro termo;

n é o número de termos;

an é o enésimo termo: termo geral. (GIOVANNI e BONJORNO,1992)

Verificando a aprendizagem

I- Escreva uma P.A. de cinco termos onde o 1º termo (a1) é 10 e a razão é 3.

Resolução:

r = 3

  • a1 = 10
  • a2 = 10 + 3 = 13
  • a3 = 13 + 3 = 16
  • a4 = 16 + 3 = 19
  • a5 = 19 + 3 = 22

(10, 13, 16, 19, 22)

II- Determine o valor de x, tal que os números x2, (x + 2)2 e (x + 3)2 formem, nessa ordem, uma P.A.

Resolução:

Lembremos que a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3....

  • (x + 2)2 – x2 = (x + 3)2(x + 2)2   devemos, inicialmente, desenvolver os produtos notáveis.
  • x2 + 4x + 4 – x2 = [x2 + 6x + 9][x2 + 4x + 4]  podemos “eliminar” os dois primeiros x2 e, em seguida, eliminar os colchetes, operando com os sinais anteriores a eles (para maiores detalhes sobre a resolução de Expressões Numéricas, consultar o meu artigo de mesmo nome publicado na InfoEscola através do link anterior)
  • 4x + 4 = x2 + 6x + 9x24x4  “eliminaremos” os dois últimos x2, bem como adicionaremos os termos semelhantes.
  • 4x + 4 = 2x + 5  adicionaremos – 2x e – 4 aos dois membros e
  • 2x = 1  dividiremos ambos os termos por 2.
  • x = ½

 

III- Determine o 5º termo da P.A. (- 5, 2, ...)

r = 2 – (- 5) = 7

  • a1 = - 5
  • a5 = a1 + 4r
  • a5 = - 5 + 4x7
  • a5 = - 5 + 28 = 23
  • a5 = 23

Considerações finais

Neste artigo, procurei explicitar as ideias básicas referentes à P.A., numa espécie de introdução a esta temática. Em trabalho posterior continuarei a detalhar este conteúdo, trazendo a Interpolação Aritmética e também a Soma dos n Termos de uma P.A. Finita. Este artigo servirá de alicerce para o estudo dos próximos, sendo o estudo deste indispensável à boa compreensão dos demais.

A partir das definições feitas aqui, poderemos resolver diversos tipos de problemas envolvendo Sequências (ou Progressões) Aritméticas, bastando a compreensão do assunto abordado em termos generalizantes e não apenas pontuais.

“Os números preenchem os espaços para os quais projeto o meu olhar”

(Robison Sá)

Referências bibliográficas:
GIOVANNI, JOSÉ RUY; BONJORNO, JOSÉ ROBERTO. Matemática, 2: progressões, matrizes, análise combinatória, geometria. São Paulo: FTD, 1992.

Sociedade Brasileira de Educação Matemática (DF). História da Matemática. Disponível em: http://www.sbemdf.com/index.php?option=com_content&view=article&id=37&Itemid=22. Acesso em: 25 de junho de 2013.

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