Sequências Numéricas

Breve relato histórico

Muitos são os nomes de pessoas que dedicaram suas vidas à descoberta e ao aperfeiçoamento da matemática. Elas são dos mais variados ramos do conhecimento humano, mas que compartilham entre si um desejo comum: o manuseio dos números e das formas. A matemática recebe, em sua plataforma de estudo, advogados, filósofos, físicos, químicos, engenheiros, matemáticos e muitos outros profissionais ou amantes desta ciência milenar, que é marcada pela importância no desenvolvimento planetário ou, ainda além, universal.

Em 1789, na cidade de Paris, França, nascia o professor, engenheiro e matemático Augustin-Louis Cauchy. Ele estudou na Escola Politécnica de Paris, onde depois tonou-se professor. Cauchy foi um dos mais importantes matemáticos de todos os tempos, tendo importantes descobertas, principalmente no campo da Matemática Pura. Pode-se afirmar que Cauchy  é um dos fundadores do Cálculo com Variáveis Complexas, assim como tem papel marcante no Cálculo Elementar, Teoria dos Determinantes e nas Séries Infinitas, sendo estas responsáveis pelo desenvolvimento da Teoria das Funções.

Definindo sequência/sucessão

Observe a informação que darei a seguir e compreenda a ideia prática de sucessão ou sequência.

A Copa do Mundo de 2010, realizada na África do Sul, teve como campeã, ou seja, em primeiro lugar, a Espanha; no segundo lugar, a Holanda; no terceiro lugar a Alemanha e no quarto, Uruguai. Estes dados podem ser mais bem visualizados se utilizarmos representações de ordem. Vejam:

  • 1° lugar – Espanha
  • 2° lugar – Holanda
  • 3° lugar – Alemanha
  • 4° lugar – Uruguai

Sabendo destas informações, poderíamos escrever a ordem de classificação desta Copa da seguinte maneira: Espanha, Holanda, Alemanha, Uruguai. Ainda segundo essa ideia, temos, por exemplo, que os dias segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo, representam a sequência ou sucessão de dias de uma semana.

DEFINIÇÃO

Toda função/relação cujo domínio (conjunto de partida) é o conjunto dos números naturais é também uma sequência ou sucessão.

Sequência ou sucessão numérica

DEFINIÇÃO

Sequência numérica é uma sequência ou sucessão que tem como contradomínio (conjunto de chegada) o conjunto dos números reais.

As sequências numéricas podem ser finitas, quando é possível “contar” os seus elementos, ou infinitas, quanto não é possível “contar” os seus elementos. Visualize, nos dois casos, as representações matemáticas.

  • Sequência finita: (a1, a2, a3, ..., an)
  • Sequência infinita: (a1, a2, a3, ..., an,...)

Leitura dos termos acima:

  • a1 → a índice 1 (primeiro termo)
  • a2 → a índice 2 (segundo termo)
  • a3 → a índice 3 (terceiro termo)
  • an → a índice n (enésimo termo)

Veja exemplos de sequências finitas e infinitas:

  • Sequência finita: (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)
  • Sequência infinita (3, 5, 7, 11, 13, 17,...)

Verificação da aprendizagem

  • Dada a sequência definida por an = 4n – 1, com n Є N*, calcule:

a)      a3 – a1

Lembre-se de que o domínio desta sequência é N* (naturais não nulos), sendo assim, o primeiro termo (a1) é 1.

  • Para n = 1, temos: a1 = 4x1 – 1 = 3
  • Para n = 3, temos: a3 = 4x3 – 1 = 11
  • a3 – a1 = 11 – 3 = 8

b)      (a5)2 + (a6)2

Mais uma vez considerando que o conjunto domínio é N*, temos:

  • Para n = 5, temos: a5 = 4x5 – 1 = 19
  • Para n = 6, temos: a6 = 4x6 – 1 = 23
  • 192 + 232 = 890
  • Escreva os quatro primeiros termos das sequências dadas pelos termos gerais, sendo n Є N*.

a)      an = 3n – 1

  • Para n = 1, temos: a1 = 3x1 – 1 = 2
  • Para n = 2, temos: a2 = 3x2 – 1 = 5
  • Para n = 3, temos: a3 = 3x3 – 1 = 8
  • Para n = 4, temos: a4 = 3x4 – 1 = 11

Conclusão: (2, 5, 8, 11)

b)      an = 2n - 1

  • Para n = 1, temos: a1 = 21 – 1 = 1
  • Para n = 2, temos: a2 = 22 – 1 = 2
  • Para n = 3, temos: a3 = 23 – 1 = 4
  • Para n = 4, temos: a4 = 24 – 1 = 8

Conclusão: (1, 2, 4, 8)

Considerações finais

            Aos caros leitores, deixo claro que este trabalho é apenas uma introdução ao conceito de sequência que, um pouco mais adiante, contemplará as ideias e operações das Progressões Aritméticas e/ou Geométricas, as famosas P.A e P.G. Ciente da importância dessas duas temáticas, escreverei sobre elas em meus próximos trabalhos. Porém, esta introdução deverá ser lida e estudada como pré-requisito a um estudo mais detalhado do tema em discussão.

“Cada passo dado num longo caminho reduz o espaço que nos separa da chegada”
(Robison Sá)

Referências bibliográficas

GIOVANNI, JOSÉ RUY. Matemática 2: progressões, matrizes, análise combinatória, geometria. São Paulo: FTD, 1992.

Copas do Mundo. Disponível em: http://pt.fifa.com/worldcup/archive/index.html. Acesso em: 14 de junho de 2013.