Cotangente

Bacharel em Matemática (Mackenzie, 2015)
Licenciado em Matemática (Mackenzie, 2014)

O estudo das relações trigonométricas foi fundamental para a disseminação da Matemática. As inovações que surgiram através das relações trigonométricas e suas aplicações, são inúmeras e em muitas áreas do conhecimento.

As relações trigonométricas são estudadas com base em um triângulo retângulo (aquele que possui um ângulo de 90°). Vamos lembrar dos nomes dos lados de um triângulo retângulo:

 

Definindo a cotangente de um ângulo

A cotangente de um ângulo é a razão entre o Cateto adjacente e o Cateto Oposto a esse ângulo. Assim, a relação cotangente depende do ângulo considerado, veja:

Em relação ao ângulo \alpha:

cotg(\alpha) = \frac{\text{cateto adjacente a }\alpha}{\text{cateto oposto a }\alpha}

cotg(\alpha) = \frac{AC}{AB}

cotg(\alpha) = \frac{b}{c}

A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente desse mesmo ângulo, assim:

cotg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)}

Ou ainda

cotg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}

Tangente dos ângulos notáveis

Existem alguns ângulos, que chamamos de notáveis, onde o valor da tangente é facilmente calculável, são eles 30°, 45° e 60°.

Como a cotangente de um ângulo é o inverso da tangente desse ângulo, basta inverter os valores das tangentes dos ângulos acima, na tabela.

Tabela da tangente

\alpha 30º 45º 60º
tg(\alpha) \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3}

Tabela da cotangente

\alpha 30º 45º 60º
cotg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)} \sqrt{3} 1 \frac{\sqrt{3}}{3}

Exemplo prático:

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A cotangente de \alpha mede?

cotg(\alpha) = \frac{\text{cateto adjacente a }\alpha}{\text{cateto oposto a }\alpha}

cotg(\alpha) = \frac{8}{6}

cotg(\alpha) = 1,33

Função cotangente

Definimos a função cotangente como:

f(x) = cotg(x), x \neq k\pi

Lembrando alguns conceitos do Círculo Trigonométrico, fica claro que a função cotangente tem imagem Real, ou seja, é válida para todo x real.

A cotangente de um ângulo sempre estará paralela ao eixo das abscissas (x). Nesse sentido, a cotangente de um ângulo será sempre positiva no 1º e 3º quadrantes e negativo no 2º e 4º quadrantes

Gráfico da função cotangente

Vamos ilustrar o gráfico da função cotangente. Para isso, vamos construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico:

x f(x) = cotg(x)
0 \not\exists
\frac{\pi}{2} 0
\pi \not\exists
\frac{3\pi}{2} 0
2\pi \not\exists

As retas onde a função cotangente não existe, x = k\pi, são chamadas de assíntotas.

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Trigonometria. Vol. 3. São Paulo: Atual, 1995.

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