Equações Lineares e Exatas

Vimos nos artigos: Equações Diferenciais e Equações Diferenciais de 1ª Ordem uma breve introdução ao estudo das EDOs. Neste trataremos um pouco mais sobre EDOs Exatas e Lineares. Se o leitor ainda não visitou os artigos acima citados, vale a pena conferir não só esses artigos, mas também o de Equações Diferenciais Separáveis.

Equações Lineares

Vamos relembrar o conceito de uma equação linear. Uma ED é chamada de linear se é possível escrevê-la na forma:

${a}_{n}\left(x\right)\frac{{d}^{n}y}{d{x}^{n}}+{a}_{n-1}\left(x\right)\frac{{d}^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+\dots {a}_{1}\left(x\right)\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}+{a}_{0}\left(x\right)y=g\left(x\right)$

Em outros termos, podemos classificar as EDs lineares de 1ª ordem com duas propriedades:

a) A variável dependente de y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, n=1.

b) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.

Em outras palavras, uma equação diferencial de 1ª ordem da forma:

${a}_{1}\left(x\right)\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}+{a}_{0}\left(x\right)y=g\left(x\right)$

É linear.

Dividindo a equação pelo seu coeficiente ${a}_{1}\left(x\right)$, obtemos uma forma mais útil para uma ED linear:

$\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}+P\left(x\right)y=F\left(x\right)$

Onde devemos procurar uma solução em um intervalo I em que as funções $P\left(x\right)$e $F\left(x\right)$sejam contínuas.

Fator de Integração $\mu \left(x\right)$

Usando diferenciais podemos escrever a equação acima como:

$\mathit{dy}+\left\lbrack P\left(x\right)y-F\left(x\right)\right\rbrack \mathit{dx}=0$

As EDOs lineares possuem uma propriedade na qual podemos sempre encontrar uma função $\mu \left(x\right)$que é uma EDO exata, ou seja:

$\mu \left(x\right)\mathit{dy}+\mu \left(x\right)\left\lbrack P\left(x\right)y-F\left(x\right)\right\rbrack \mathit{dx}=0$

Sendo assim, se:

$\frac{\partial \mu \left(x\right)}{\partial x}=\frac{\partial \mu \left(x\right)}{\partial y}\left\lbrack P\left(x\right)y-F\left(x\right)\right\rbrack$

$\frac{\partial \mu \left(x\right)}{\partial x}=\frac{\partial \mu \left(x\right)P\left(x\right)y}{\partial y}-\frac{\partial \mu \left(x\right)F\left(x\right)}{\partial y}$

$\frac{d\mu \left(x\right)}{dx}=\mu \left(x\right)P\left(x\right)$

Que é uma EDO separável. Logo, a sua solução será:

$\int \frac{d\mu \left(x\right)}{\mu \left(x\right)}=\int P\left(x\right)\mathit{dx}$

$\ln \left\vert \mu \left(x\right)\right\vert =\int P\left(x\right)\mathit{dx}$

$\mu \left(x\right)={e}^{\int P\left(x\right)\mathit{dx}}$

Para reduzir a nossa notação, podemos escrever a expressão acima como:

$\mu \left(x\right)=\exp \left\lbrack \int P\left(x\right)\mathit{dx}\right\rbrack$

Então, a função$\mu \left(x\right)$ que encontramos acima é chamada de fator de integração para a EDO linear. Se substituirmos $\mu \left(x\right)$na expressão:

$\mu \left(x\right)\mathit{dy}+\mu \left(x\right)\left\lbrack P\left(x\right)y-F\left(x\right)\right\rbrack \mathit{dx}=0$

$\exp \left\lbrack \int P\left(x\right)\mathit{dx}\right\rbrack \mathit{dy}+\exp \left\lbrack \int P\left(x\right)\mathit{dx}\right\rbrack \left\lbrack P\left(x\right)y-F\left(x\right)\right\rbrack \mathit{dx}=0$

Obtemos como resultado:

$y=\frac{1}{\mu \left(x\right)}\left\lbrack \mu \left(x\right)\cdot F\left(x\right)\mathit{dx}+C\right\rbrack$

Vejamos exemplos de suas aplicações:

1 – Vamos obter uma solução para a EDO:

$x\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}-4y={x}^{6}{e}^{x}$

Multiplicando toda a equação por 1/x temos:

$\left(x\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}-4y\right)\frac{1}{x}=\left({x}^{6}{e}^{x}\right)\frac{1}{x}$

$\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}-\frac{4}{x}y={x}^{5}{e}^{x}$

Pela definição:

$\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}+P\left(x\right)y=F\left(x\right)\rightarrow \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}-\frac{4}{x}y={x}^{5}{e}^{x}$

Então:

$\mu \left(x\right)=\exp \left\lbrack \int \frac{-4}{x}\mathit{dx}\right\rbrack$

$\mu \left(x\right)=\exp \left\lbrack -4\ln \left\vert x\right\vert \right\rbrack$

$\mu \left(x\right)={x}^{-4}$

Usando:

$y=\frac{1}{\mu \left(x\right)}\left\lbrack \int \mu \left(x\right)\cdot F\left(x\right)\mathit{dx}+C\right\rbrack$

$y=\frac{1}{{x}^{-4}}\left\lbrack \int {x}^{-4}\cdot {x}^{5}{e}^{x}\mathit{dx}+C\right\rbrack$

$y={x}^{4}\left\lbrack \int x\cdot {e}^{x}\mathit{dx}\right\rbrack +{x}^{4}C$

O resultado desta integral, pelo método de integração por partes, temos:

$\int x\cdot {e}^{x}\mathit{dx}=x\cdot {e}^{x}-{e}^{x}$

Substituindo, temos:

$y={x}^{4}\left\lbrack x\cdot {e}^{x}-{e}^{x}\right\rbrack +{x}^{4}C$

$y={x}^{5}\cdot {e}^{x}-{x}^{4}{e}^{x}+{x}^{4}C$

Que é o resultado de nossa EDO.

Equações Exatas

São chamadas de EDOs exatas as que podem ser escritas da forma:

$M\left(x,y\right)+N\left(x,y\right)\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=0$

Onde as funções $M\left(x,y\right)$e $N\left(x,y\right)$satisfazem a igualdade:

$\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{\partial N\left(x,y\right)}{\partial x}$

Função $\phi \left(x,y\right)$

Seja um retângulo $\left\lbrace \left(x,y\right)\in R\vee \alpha < x< \beta ,\gamma < y< \delta \right\rbrace$em que $M\left(x,y\right),N\left(x,y\right),\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}$e $\frac{\partial N\left(x,y\right)}{\partial x}$ são contínuas, então existe uma função $\phi \left(x,y\right)$tal que:

$M\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial x}$

$N\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}$

Substituindo esses valores, temos:

$\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial x}+\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}\cdot \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=0$

E pela regra da cadeia obtemos a relação abaixo:

$\frac{d}{\mathit{dx}}\phi \left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial x}+\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}\cdot \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=0$

Então, a solução geral da equação será dada por:

$\phi \left(x,y\right)=C$

Devemos encontrar agora a própria função $\phi \left(x,y\right)$. Integrando a igualdade abaixo em relação a $x$, obtemos:

$\int M\left(x,y\right)=\int \frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial x}$

$\phi \left(x,y\right)=\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}+h\left(y\right)$

Em que $h\left(y\right)$é a função $\phi \left(x,y\right)$a ser determinada. Substituindo na igualdade abaixo:

$N\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{d}{\mathit{dy}}\left(\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}+h\left(y\right)\right)$

$N\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}\right)+\frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}$

$\frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}=N\left(x,y\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}\right)$

E integrando ambos os lados da igualdade, temos:

$\int \frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}=\int N\left(x,y\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}\right)$

$N\left(x,y\right)=\int \frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}\mathit{dx}+\frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}$

$\frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}=N\left(x,y\right)-\int \frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}$

$h\left(y\right)=\int \left\lbrack N\left(x,y\right)-\int \frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}\mathit{dx}\right\rbrack \mathit{dy}$

Portanto, a solução geral de uma equação exata é dada por:

$\phi \left(x,y\right)=\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}+\int N\left(x,y\right)\mathit{dy}-\int \left(\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}\mathit{dx}\right)\mathit{dy}=C$

Vejamos agora uma aplicação.

2 – Vamos obter a solução da EDO abaixo:

$\frac{2y\left(1+x\mathrm{{^2}}\right)}{1+2x\mathrm{{^2}}}y\text{'}-\frac{2\mathit{xy}\mathrm{{^2}}}{\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)\mathrm{{^2}}}=1$

Reescrevendo temos:

Para sabermos se a EDO é exata, devemos primeiro identificar se:

$\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{\partial N\left(x,y\right)}{\partial x}$

Então:

$\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{-4\mathit{xy}}{\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)\mathrm{{^2}}}$

$\frac{\partial N\left(x,y\right)}{\partial x}=\frac{-4\mathit{xy}}{\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)\mathrm{{^2}}}$

Logo, a EDO acima é exata. Continuando, devemos encontrar uma função $\phi \left(x,y\right)$tal que:

$M\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial x}$

$N\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}$

E por consequência:

$\phi \left(x,y\right)=\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}+h\left(y\right)$

Logo:

$\phi \left(x,y\right)=\int \left(\frac{-2\mathit{xy}\mathrm{{^2}}}{\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)\mathrm{{^2}}}-1\right)\mathit{dx}+h\left(y\right)$

O resultado da integral é dado por:

$\int \left(\frac{-2\mathit{xy}\mathrm{{^2}}}{\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)\mathrm{{^2}}}-1\right)\mathit{dx}=\frac{y\mathrm{{^2}}}{2\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)}-x$

Substituindo:

$\phi \left(x,y\right)=\frac{y\mathrm{{^2}}}{2\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)}-x+h\left(y\right)$

E como:

$N\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}$

E:

$\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{2y}{2\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)}+h\text{'}\left(y\right)$

Então:

$\frac{2y\left(1+x\mathrm{{^2}}\right)}{1+2x\mathrm{{^2}}}=\frac{2y}{2\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)}+h\text{'}\left(y\right)$

Isolando $h\text{'}\left(y\right)$e resolvendo a expressão, temos:

$h\text{'}\left(y\right)=y$

Que é uma EDO separável. Ou seja:

$\frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}=y$

$\int \mathit{dh}\left(y\right)=\int y\mathit{dy}$

$h\left(y\right)=\frac{y\mathrm{{^2}}}{2}+C$

Concluindo, a solução da EDO exata será dada por:

$\phi \left(x,y\right)=\frac{y\mathrm{{^2}}}{2\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)}-x+\frac{y\mathrm{{^2}}}{2}+C$

Referências bibliográficas:

ZILL, Dennis G; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais – Volume 1. São Paulo – Pearson Makron Books, 2001.

BASSALO, José Maria FIlardo; CATTANI, Mauro Sérgio Dorsa. Elementos de Física Matemática – Volume 1. São Paulo – Livraria da Física, 2010.

ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7a Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.

Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/equacoes-lineares-e-exatas/