Equações Lineares e Exatas

Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Mestrando em Física Teórica (UNICSUL, 2018-atualmente)

Vimos nos artigos: Equações Diferenciais e Equações Diferenciais de 1ª Ordem uma breve introdução ao estudo das EDOs. Neste trataremos um pouco mais sobre EDOs Exatas e Lineares. Se o leitor ainda não visitou os artigos acima citados, vale a pena conferir não só esses artigos, mas também o de Equações Diferenciais Separáveis.

Equações Lineares

Vamos relembrar o conceito de uma equação linear. Uma ED é chamada de linear se é possível escrevê-la na forma:

Em outros termos, podemos classificar as EDs lineares de 1ª ordem com duas propriedades:

a) A variável dependente de y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, n=1.

b) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.

Em outras palavras, uma equação diferencial de 1ª ordem da forma:

É linear.

Dividindo a equação pelo seu coeficiente , obtemos uma forma mais útil para uma ED linear:

Onde devemos procurar uma solução em um intervalo I em que as funções e sejam contínuas.

Fator de Integração

Usando diferenciais podemos escrever a equação acima como:

As EDOs lineares possuem uma propriedade na qual podemos sempre encontrar uma função que é uma EDO exata, ou seja:

Sendo assim, se:

Que é uma EDO separável. Logo, a sua solução será:

Para reduzir a nossa notação, podemos escrever a expressão acima como:

Então, a função que encontramos acima é chamada de fator de integração para a EDO linear. Se substituirmos na expressão:

Obtemos como resultado:

Vejamos exemplos de suas aplicações:

1 – Vamos obter uma solução para a EDO:

Multiplicando toda a equação por 1/x temos:

Pela definição:

Então:

Usando:

O resultado desta integral, pelo método de integração por partes, temos:

Substituindo, temos:

Que é o resultado de nossa EDO.

Equações Exatas

São chamadas de EDOs exatas as que podem ser escritas da forma:

Onde as funções e satisfazem a igualdade:

Função

Seja um retângulo em que e são contínuas, então existe uma função tal que:

Substituindo esses valores, temos:

E pela regra da cadeia obtemos a relação abaixo:

Então, a solução geral da equação será dada por:

Devemos encontrar agora a própria função . Integrando a igualdade abaixo em relação a , obtemos:

Em que é a função a ser determinada. Substituindo na igualdade abaixo:

E integrando ambos os lados da igualdade, temos:

Portanto, a solução geral de uma equação exata é dada por:

Vejamos agora uma aplicação.

2 – Vamos obter a solução da EDO abaixo:

Reescrevendo temos:

Para sabermos se a EDO é exata, devemos primeiro identificar se:

Então:

Logo, a EDO acima é exata. Continuando, devemos encontrar uma função tal que:

E por consequência:

Logo:

O resultado da integral é dado por:

Substituindo:

E como:

E:

Então:

Isolando e resolvendo a expressão, temos:

Que é uma EDO separável. Ou seja:

Concluindo, a solução da EDO exata será dada por:

Referências bibliográficas:

ZILL, Dennis G; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais – Volume 1. São Paulo – Pearson Makron Books, 2001.

BASSALO, José Maria FIlardo; CATTANI, Mauro Sérgio Dorsa. Elementos de Física Matemática – Volume 1. São Paulo – Livraria da Física, 2010.

ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7a Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.

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