Inequações trigonométricas

Mestre em Oceanografia Física (USP, 2019)
Graduada em Física (UFABC, 2016)

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Uma inequação é uma sentença matemática expressa por uma desigualdade. Assim, em uma inequação trigonométrica temos uma desigualdade onde a incógnita aparece na forma da medida de arcos ou nos ângulos de uma função trigonométrica. São exemplos:

Não existe um padrão de resolução, por isso o melhor jeito de entender como resolvê-las é através de exemplos. Dá mesma forma que a equação trigonométrica se as questões não apresentarem um intervalo de resolução é necessário apresentar uma solução geral para n voltas no círculo trigonométrico. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1) Resolva a inequação no intervalo .

Solução:

Em primeiro lugar, precisamos encontrar os valores onde isso seria uma igualdade (dentro do nosso intervalo), ou seja:

(o primeiro é um ângulo notável e o segundo é o seu correspondente no 2° quadrante).

Em seguida, encontramos os possíveis ângulos no círculo trigonométrico (ver figura acima). Analisar os ângulos onde a desigualdade é verdadeira, ou seja, . Isso ocorre, no nosso intervalo, quando o ângulo é maior que e quando o ângulo é menor que (ver figura abaixo).

Logo a solução será:

2) Resolva a inequação .

Solução:

Em uma volta, ou seja, no intervalo , quando (o primeiro é um ângulo notável e o segundo é o seu correspondente no 4° quadrante). Lembrando que cosseno aumenta conforme o ângulo aumenta no 1° e no 4° quadrantes, temos que de 0 até e de até . Abaixo desenhamos isso no circulo trigonométrico.

Escrevendo isso para n voltas, temos que a solução será:

3) Resolva a inequação no intervalo .

Lembrando que quando (o primeiro é um ângulo notável e o segundo é o seu correspondente no 3° quadrante). Abaixo temos um esboço disso nos eixos.

Como temos que (o que não queremos) nos intervalos e , então nosso resultado estará no restante do intervalo do círculo (como descrito na figura abaixo).

Logo a solução será:

4) (UEG – adaptado) Qual o conjunto solução da inequação , no intervalo , para x real?

Solução:

Lembrando que

Logo:

Mas, no 3° e 4° quadrantes, ou seja, no intervalo e quando .

 

Logo, se a = 2x o conjunto solução será:

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